"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Шар — тело, ограниченное сферой, а сфера состоит из точек, равноудалённых от центра. Площадь этой поверхности показывает, сколько места занимает внешняя оболочка шара, и обозначается буквой S. Главная формула темы — S = 4πR², где R — радиус, а π — число пи. По ней можно вычислить площадь по радиусу, а обратной формулой — найти радиус по площади. Если известен диаметр, сначала делят его пополам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от одной точки, называемой центром. Расстояние от центра до каждой точки сферы одинаково. Сферу удобно представлять как поверхность мяча, не включая его внутреннюю часть: именно это различие помогает не путать сферу с шаром.
Шар — тело, ограниченное сферой, то есть сама сфера вместе со всеми точками внутри неё. Если говорят о поверхности шара, имеют в виду только его внешнюю границу. Такое уточнение нужно, чтобы различать площадь поверхности и объём тела.
Радиус сферы — отрезок от её центра до любой точки сферы; его обозначают буквой R. Все радиусы одной сферы равны, поэтому для вычислений достаточно знать длину одного из них. Радиус служит основным размером в формуле площади.
Площадь поверхности шара — площадь сферы, ограничивающей шар, и обозначается буквой S. Она показывает размер внешней поверхности и измеряется в квадратных единицах. Для её вычисления используют формулу S = 4πR², где π — постоянное число, приблизительно равное 3,14, а R — радиус.
Площадь поверхности зависит от размера шара не так, как сам радиус: в формуле радиус стоит во второй степени. Поэтому при увеличении радиуса в k раз новая площадь равна 4π(kR)² = k² · 4πR². Например, если радиус стал вдвое больше, площадь возрастёт в четыре раза, а не в два.
Формула связана с теоремой Архимеда: площадь сферы равна площади боковой поверхности цилиндра, описанного около неё. Такой цилиндр охватывает шар, касается его по окружности у каждого основания, а его радиус основания равен R. Высота цилиндра равна диаметру шара, то есть 2R.
Боковую поверхность цилиндра можно мысленно развернуть в прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна длине окружности основания 2πR, а другая — высоте цилиндра 2R. Значит, площадь прямоугольника, а вместе с ней и площадь сферы, равна 2πR · 2R = 4πR².
Если площадь известна, радиус можно восстановить, преобразовав основную формулу: сначала делим обе части равенства S = 4πR² на 4π, затем извлекаем квадратный корень. Получаем R = √(S/(4π)). Отрицательный корень не подходит: длина радиуса не бывает меньше нуля.
Диаметр d — отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки сферы; он вдвое длиннее радиуса. Поэтому, если в условии дан диаметр, сначала вычисляют R = d/2 и только затем подставляют его в S = 4πR². Иначе в формулу попадёт не тот размер, и результат окажется неверным.
| Что известно или требуется | Обозначение | Формула |
|---|---|---|
| Радиус | R | R = d/2 или R = √(S/(4π)) |
| Диаметр через радиус | d | d = 2R |
| Площадь поверхности через радиус | S | S = 4πR² |
| Радиус через площадь поверхности | R | R = √(S/(4π)) |
| Изменение площади при увеличении радиуса в k раз | S₁ | S₁ = k²S |
Сначала определите, что дано в задаче: радиус, диаметр или площадь. Выберите соответствующую формулу, а при известном диаметре сначала найдите радиус. В конце проверьте единицы измерения: площадь выражается в квадратных единицах.
Известен радиус R = 3 см, поэтому дополнительное преобразование не требуется. Подставим его в формулу площади поверхности шара. При возведении в квадрат сохраняем единицу измерения длины, которая становится квадратной.
Ответ: 36π см², или приблизительно 113,04 см². Точный ответ с π обычно удобен, если в условии не требуется десятичное приближение. Проверка показывает, что в вычислениях использован квадрат радиуса.
В формуле площади используется радиус, а в условии дан диаметр. Поэтому сначала нужно определить половину диаметра. После этого вычисление выполняется так же, как в предыдущей задаче.
Ответ: 100π см², или приблизительно 314 см². Если бы вместо радиуса в формулу подставили 10, результат оказался бы в четыре раза больше правильного. Это связано с тем, что диаметр вдвое больше радиуса, а размер в формуле возводится в квадрат.
Теперь известна площадь, а требуется найти радиус и диаметр. Для этого преобразуем формулу площади, чтобы оставить R отдельно. Поскольку радиус — длина, из двух значений квадратного корня выбираем неотрицательное.
Ответ: радиус равен 6 см, диаметр — 12 см. Число π сокращается, потому что оно входит и в заданную площадь, и в знаменатель обратной формулы. Для проверки подставляем радиус обратно: 4π · 6² = 144π см².
Часто в формулу подставляют диаметр вместо радиуса. Это происходит потому, что в условии задачи диаметр нередко указан явно и кажется подходящим размером. Поскольку d = 2R, подстановка диаметра увеличивает результат в четыре раза; проверьте, что сначала выполнено деление на 2.
Другая ошибка — записать S = 4πR или S = πR². Первая формула похожа на формулу длины окружности, а вторая — на площадь круга, поэтому их легко спутать. Сопоставьте выражение с искомым объектом: речь идёт о поверхности шара, и для неё нужна формула 4πR².
Можно забыть возвести радиус в квадрат или неверно вычислить квадрат числа. Такая ошибка меняет величину результата, потому что площадь зависит от R², а не от R. Проверьте вычисление отдельно: например, 5² = 25, затем умножьте полученное число на 4π.
Иногда ответ записывают в сантиметрах, хотя найденная величина — площадь. Ошибка возникает, если не учитывать, что радиус измеряется в сантиметрах, а после возведения в квадрат единица становится квадратной. Проверка проста: для площади указывайте см², м² или другую квадратную единицу.
Для работы с формулой нужны длина окружности и площадь круга, а также умение отличать радиус от диаметра. Различие между сферой и шаром помогает правильно понимать, о какой поверхности или части тела идёт речь.
Обоснование формулы опирается на теорему Архимеда и формулу боковой поверхности цилиндра. В описанном цилиндре радиус основания равен радиусу шара, а высота — его диаметру.
Формула площади используется вместе с формулами объёма при решении задач о пространственных телах. Она также позволяет сравнивать поверхности шаров разного размера: например, оценивать, во сколько раз изменится площадь при заданном увеличении радиуса.
Чем шар отличается от сферы?
Сфера — это только поверхность, состоящая из точек на одинаковом расстоянии от центра. Шар включает и эту поверхность, и все точки внутри неё.
Почему в формуле площади поверхности шара радиус возводится в квадрат?
Площадь измеряется в квадратных единицах, поэтому она зависит от квадрата линейного размера. Если радиус увеличить в k раз, площадь увеличится в k² раз.
Как найти площадь поверхности шара, если дан его диаметр?
Сначала найдите радиус: разделите диаметр d на 2. Затем подставьте R = d/2 в формулу S = 4πR².
Как выразить радиус шара через площадь его поверхности?
Из равенства S = 4πR² получаем R = √(S/(4π)). Берут неотрицательный корень, потому что радиус не может быть отрицательным.
Почему площадь поверхности шара равна площади боковой поверхности описанного цилиндра?
По теореме Архимеда площадь сферы равна площади боковой поверхности цилиндра, описанного около неё. У такого цилиндра радиус основания R и высота 2R, поэтому его боковая поверхность равна 2πR · 2R = 4πR².
§ 43. Площадь поверхности шара
