§ 44. Прямоугольная система координат в пространстве

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными положительными направлениями. На каждой оси задают единичный отрезок, чтобы измерять смещения. Такая система превращает положение точки в набор чисел и позволяет описывать геометрические объекты вычислениями.

Оси обозначают Ox, Oy и Oz, а плоскости, образованные парами осей, — Oxy, Oxz и Oyz. Например, плоскость Oxy содержит оси Ox и Oy и перпендикулярна оси Oz. Эти обозначения помогают понять, какие направления участвуют в задании координаты или положения точки.

Координаты точки — числа x, y и z, задающие её положение относительно координатных плоскостей; точку записывают как A(x; y; z). Порядок чисел соответствует осям Ox, Oy, Oz и менять его нельзя. Координаты нужны, чтобы однозначно указать точку и выполнять вычисления с её положением.

Октант — одна из восьми частей пространства, на которые координатные плоскости делят пространство. Каждая часть соответствует определённому сочетанию знаков координат. Это понятие позволяет быстро определить, в какой области пространства находится точка.

Как это устроено

Сначала выбирают начало отсчёта O, затем положительные направления трёх осей и единичный отрезок на каждой из них. Без начала координат нельзя определить, откуда отсчитывать положение точки, а без направлений невозможно различить смещения в противоположные стороны. Единичные отрезки задают масштаб, поэтому координаты становятся числовыми величинами. После такого выбора одной и той же точке соответствует ровно одна тройка координат.

Координата x показывает направленное расстояние точки до плоскости Oyz, y — до Oxz, а z — до Oxy. Например, если перемещаться параллельно Ox, две координаты y и z не меняются, а меняется только x. Поэтому расстояние до плоскости Oyz связано именно с x; знак сообщает, с какой стороны плоскости расположена точка. Само расстояние неотрицательно и равно |x|.

Чтобы увидеть связь координат с проекциями, опустите из точки перпендикуляр на координатную плоскость: её координаты сохраняются, кроме координаты, отвечающей за перпендикулярное направление. Например, проекция A(x; y; z) на Oxy имеет координаты (x; y; 0). Поэтому точка лежит в Oxy тогда и только тогда, когда z = 0; для Oxz необходимо y = 0, для Oyz — x = 0. На оси Ox одновременно y = 0 и z = 0, поскольку ось является пересечением плоскостей Oxy и Oxz.

Три координатные плоскости делят пространство на восемь областей, потому что каждая координата может быть положительной или отрицательной. Сочетания знаков x, y и z указывают, по какую сторону каждой плоскости находится точка. Например, для A(−2; 3; 1) знаки координат — минус, плюс, плюс. Если хотя бы одна координата равна нулю, точка лежит на плоскости, а не внутри октанта.

Для расстояния между двумя точками сначала рассматривают их проекции на плоскость Oxy. По теореме Пифагора расстояние между проекциями равно √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Отрезок между исходными точками и разность z-координат образуют с этим расстоянием прямоугольный треугольник. Повторное применение теоремы Пифагора даёт формулу √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).

Положение точки по её координатам

Чтобы воспользоваться таблицей, найдите нужную плоскость или ось и проверьте указанные равенства. Для плоскости требуется одна нулевая координата, а для оси — две. Координата, которая не обязана быть нулевой, может принимать любое значение.

Разбор задач

Задача 1. Дана точка A(−2; 3; 1). Определите, в каком октанте она находится, и укажите её расстояния до координатных плоскостей. Сначала определим положение по знакам, а затем используем соответствующие координаты для расстояний. Так мы отдельно учитываем направление и длину перпендикулярного отрезка.

1. Координаты имеют знаки (−, +, +), поэтому точка лежит в октанте с отрицательным x, положительным y и положительным z.
2. Расстояние до Oxy равно |z| = |1| = 1, до Oxz — |y| = |3| = 3.
3. Расстояние до Oyz равно |x| = |−2| = 2. Берём модули, потому что расстояние не бывает отрицательным.

Ответ: октант (−, +, +); расстояния до Oxy, Oxz и Oyz равны 1, 3 и 2 соответственно.

Задача 2. Найдите расстояние между A(1; −2; 3) и B(4; 2; 3). В формуле учитываются различия по всем трём направлениям. Здесь координаты z совпадают, но соответствующее слагаемое всё равно записываем: оно станет нулём.

1. Находим разности координат: 4 − 1 = 3, 2 − (−2) = 4 и 3 − 3 = 0.
2. Подставляем их в формулу расстояния: AB = √(3² + 4² + 0²).
3. Вычисляем: AB = √(9 + 16) = √25 = 5.

Ответ: расстояние между точками равно 5.

Задача 3. Найдите точку C на оси Oz, равноудалённую от A(1; 2; 3) и B(3; −2; 1). Точка на оси Oz имеет вид C(0; 0; t), где t — неизвестная координата. Равенство расстояний удобно записать через квадраты: корни тогда можно не вычислять.

1. Приравниваем квадраты расстояний: CA² = (0 − 1)² + (0 − 2)² + (t − 3)², а CB² = (0 − 3)² + (0 + 2)² + (t − 1)².
2. Получаем уравнение 1 + 4 + (t − 3)² = 9 + 4 + (t − 1)².
3. Раскрываем скобки: 5 + t² − 6t + 9 = 13 + t² − 2t. После сокращения t² находим −4t = −1, значит, t = ¼.

Ответ: C(0; 0; ¼). Подстановка этого значения в выражения для квадратов расстояний подтверждает, что они равны.

Типичные ошибки

Порядок координат иногда меняют, записывая числа не по осям Ox, Oy, Oz. Обычно это происходит из-за невнимательного чтения записи, хотя перестановка чисел задаёт уже другую точку. Проверяйте, что первое число относится к x, второе к y, третье к z. Полезно подписывать координаты у осей перед подстановкой.

Координату принимают за расстояние и считают, что отрицательный результат невозможен. Координата является направленной величиной, поэтому может быть меньше нуля, а расстояние всегда неотрицательно. Например, при x = −2 расстояние до Oyz равно 2, а не −2. Для проверки расстояния используйте модуль соответствующей координаты.

Иногда полагают, что принадлежность плоскости означает равенство координаты единице, или вообще не проверяют, какая именно координата должна быть нулевой. Путают условие «нет смещения от плоскости» с числовым значением единицы. У плоскости Oxy должно быть z = 0, у Oxz — y = 0, у Oyz — x = 0. Сверяйте плоскость с перпендикулярной ей осью.

В формуле расстояния могут забыть квадрат разности или одно из трёх слагаемых. Ошибка возникает, когда формулу вспоминают как привычную плоскую, не учитывая третье направление. Перед вычислением выпишите разности x, y и z отдельно и возведите каждую в квадрат. Если две точки отличаются лишь по одной координате, результат должен совпадать с модулем этой разности.

Связь с другими темами

Для работы с пространственными координатами нужны координатная прямая, прямоугольная система координат на плоскости и теорема Пифагора. Координатная прямая помогает понимать знаковые смещения, а теорема Пифагора лежит в основе формулы расстояния. Позже координаты будут использоваться при изучении векторов и уравнений прямой и плоскости. Они также помогают решать задачи на расстояния и сферы, где важно задавать положение точек и сравнивать их удалённость.

Что запомнить

• Положение точки в пространстве задаётся упорядоченной тройкой координат.
• Координатные оси попарно перпендикулярны и имеют общее начало O.
• Точка принадлежит координатной плоскости, если соответствующая координата равна нулю.
• Точка принадлежит координатной оси, если две координаты, соответствующие другим осям, равны нулю.
• Расстояние от точки до координатной плоскости равно модулю соответствующей координаты.
• Расстояние между точками A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂) равно √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).