§ 20. Прямоугольная система координат в пространстве

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат в пространстве — это три попарно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранным единичным отрезком. Единичный отрезок задаёт масштаб, а перпендикулярность помогает не смешивать направления. Такая система превращает описание положения точки в набор чисел.

Координатные оси и начало координат — оси Ox, Oy, Oz, задающие направления координат, и их общая точка O, от которой ведут отсчёт. Каждая ось отвечает за одно направление движения. Начало O служит нулевой отметкой сразу для всех трёх координат.

Координатные плоскости — плоскости Oxy, Oxz и Oyz, образованные парами координатных осей. Например, плоскость Oxy содержит оси Ox и Oy. Эти плоскости помогают выделять части пространства и проверять, лежит ли в них точка.

Координаты точки — числа x, y, z, задающие её положение в пространстве; точку обозначают A(x; y; z). Первое число относится к оси Ox, второе — к Oy, третье — к Oz. Благодаря этой записи положение точки можно однозначно передать без рисунка.

Как это устроено

На прямой для положения точки достаточно одного числа, на плоскости — двух, а в пространстве нужны три. Точка может перемещаться независимо в трёх взаимно перпендикулярных направлениях, поэтому два числа не описали бы её положение полностью. Каждая координата отвечает за смещение вдоль своей оси, а прямые углы между осями позволяют рассматривать эти смещения отдельно. В результате одной точке соответствует одна упорядоченная тройка координат.

Сначала выбирают точку O, которая станет началом отсчёта, затем задают единичный отрезок и направления осей. Положительное значение координаты означает движение по выбранному направлению оси, отрицательное — в противоположную сторону. Например, координата x = −2 указывает на смещение на две единицы против положительного направления Ox. Без общего начала и одинакового масштаба числа нельзя было бы сопоставлять одному положению.

Чтобы связать координаты точки с её положением, рассматривают проекции — основания перпендикуляров, опущенных из точки на оси и координатные плоскости. Проекция показывает, насколько точка удалена от соответствующего направления или плоскости. Последовательное определение смещений по трём осям даёт значения x, y и z. Поскольку направления независимы, все три значения необходимы и вместе определяют точку.

Координатные плоскости получаются приравниванием к нулю координаты, отвечающей за направление, перпендикулярное этой плоскости. Поэтому для Oxy условие — z = 0, для Oxz — y = 0, для Oyz — x = 0. На оси одновременно должны обращаться в ноль две координаты, относящиеся к другим осям. Например, на Oz остаётся свободной только координата z, а x и y равны нулю.

Расстояние между точками можно получить из теоремы Пифагора. Разности x₂ − x₁, y₂ − y₁ и z₂ − z₁ показывают, насколько точки разнесены вдоль каждой оси. Сначала по первым двум разностям находят квадрат длины диагонали прямоугольника в одной плоскости, затем добавляют квадрат третьей разности и снова применяют теорему Пифагора. Поэтому расстояние равно √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).

Координатные оси и плоскости в пространстве

Чтобы проверить принадлежность плоскости, найдите координату, которая должна быть нулевой; для оси нулевыми должны быть две координаты. Изменяться могут только координаты, соответствующие направлениям, лежащим в объекте. Например, на оси Ox меняется x, а y и z остаются нулевыми.

Разбор задач

Координаты и координатная плоскость

Условие. Точка A имеет координаты (−2; 3; 1). Укажите её координаты и определите, лежит ли она в одной из координатных плоскостей. Проверять следует каждую плоскость по её условию: одна определённая координата должна равняться нулю.

1. Сопоставим числа с осями в установленном порядке: x = −2, y = 3, z = 1.
2. Для плоскости Oxy требуется z = 0, для Oxz — y = 0, для Oyz — x = 0.
3. Ни −2, ни 3, ни 1 не равны нулю, поэтому ни одно условие не выполняется.

Ответ: координаты точки — x = −2, y = 3, z = 1; точка не лежит ни в одной координатной плоскости. Отрицательный знак первой координаты указывает только направление смещения вдоль Ox и не меняет порядок записи.

Расстояние между точками

Условие. Найдите расстояние между точками A(1; −2; 3) и B(4; 2; 3). Для этого сравним координаты попарно: так мы найдём смещения от A к B по каждому из трёх взаимно перпендикулярных направлений.

1. Вычислим разности координат: 4 − 1 = 3, 2 − (−2) = 4, 3 − 3 = 0.
2. Подставим их в формулу: AB = √(3² + 4² + 0²).
3. Получим AB = √(9 + 16) = √25 = 5.

Ответ: расстояние между точками равно 5. Нулевая разность по z означает, что точки имеют одинаковую высоту, но формула остаётся той же. Перед возведением в квадрат важно правильно учитывать знаки при вычитании координат.

Точка, равноудалённая от трёх точек

Условие. Точка M равноудалена от A(0; 0; 0), B(4; 0; 0), C(0; 6; 0) и лежит в плоскости Oxy. Поскольку точка принадлежит Oxy, её координаты имеют вид M(x; y; 0). Равноудалённость означает, что квадраты расстояний от M до A, B и C равны.

1. Приравняем MA² и MB²: x² + y² = (x − 4)² + y². После сокращения получаем x = 2.
2. Приравняем MA² и MC²: x² + y² = x² + (y − 6)². Отсюда y = 3.
3. Подставим найденные значения в координаты M; третья координата уже равна нулю из условия принадлежности Oxy.

Ответ: M(2; 3; 0). Приравнивать квадраты расстояний удобнее, чем сами корни: корни исчезают, а равенство расстояний сохраняется. Проверка даёт MA² = MB² = MC² = 13.

Типичные ошибки

• Переставляют координаты. Так происходит, когда воспринимают тройку как набор чисел без установленного порядка. Тогда точка получает другое положение, даже если все значения сохранены. Проверка: подпишите координаты x, y, z и сверьте их с осями Ox, Oy, Oz.

• Неверно определяют принадлежность координатной плоскости. Иногда считают, что координата должна быть ненулевой, хотя плоскость содержит начало координат и соответствующая координата в ней равна нулю. Проверка: для Oxy подставьте z = 0, для Oxz — y = 0, для Oyz — x = 0.

• Складывают координаты точек вместо нахождения разностей. Координаты задают положение относительно общего начала, а расстояние зависит от того, насколько точки отделены друг от друга. Проверка: составьте три пары соответствующих координат и вычтите одно значение из другого.

• Забывают квадрат или квадратный корень в формуле расстояния. Из-за этого получают сумму квадратов вместо длины либо не используют теорему Пифагора полностью. Проверка: сначала возведите каждую разность в квадрат и сложите, а в конце извлеките квадратный корень.

Связь с другими темами

Для работы с пространственными координатами нужны знания о координатной прямой и прямоугольной системе координат на плоскости: здесь знакомые идеи расширяются ещё на одно направление. Формула расстояния опирается на теорему Пифагора, применённую к перпендикулярным смещениям. Позже координаты помогут задавать векторы и описывать уравнениями прямые и плоскости. Они также позволяют решать задачи на расстояния без построения точного чертежа.

Что запомнить

• Пространственная прямоугольная система координат состоит из трёх попарно перпендикулярных осей.
• Координаты точки записывают в порядке x, y, z: A(x; y; z).
• Точка лежит в плоскости Oxy, если z = 0; в плоскости Oxz, если y = 0; в плоскости Oyz, если x = 0.
• Точка лежит на оси Ox, если y = z = 0; на Oy, если x = z = 0; на Oz, если x = y = 0.
• Расстояние между A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂) равно √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).