"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углублённый уровни)", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Положение точки в пространстве задают три координаты, поэтому для нахождения расстояния между двумя точками нужно учесть перемещения вдоль всех трёх осей. Квадрат длины соединяющего их отрезка равен сумме квадратов разностей соответствующих координат. Эта формула позволяет находить длины отрезков и диагоналей многогранников, а также решать обратные задачи — например, определять неизвестную координату по заданному расстоянию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат в пространстве состоит из трёх взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом. Каждой точке в такой системе соответствуют три числа, а оси позволяют описать её положение в пространстве. Эта система нужна, чтобы задавать точки и работать с геометрическими объектами с помощью чисел.
Координаты точки в пространстве — это числа x, y, z, задающие её положение относительно координатных осей. Их записывают в скобках: например, A(1, 2, 3). Три координаты показывают, насколько точка удалена от координатных плоскостей, и помогают сравнивать её положение с положением другой точки.
Расстояние между точками — длина отрезка, который соединяет эти точки. Оно не зависит от того, в каком порядке названы точки, и не может быть отрицательным. Именно это число требуется найти, когда в задаче спрашивают длину отрезка между заданными точками.
Формула расстояния между точками — правило, которое позволяет вычислить длину соединяющего их отрезка по координатам концов. Для этого находят разности соответствующих координат, возводят их в квадрат, складывают и извлекают квадратный корень. Формула удобна тем, что заменяет пространственное построение вычислениями.
Пусть заданы две точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂). Чтобы перейти от A к B, нужно изменить координату x на x₂ − x₁, координату y на y₂ − y₁, а координату z на z₂ − z₁. Каждая разность показывает перемещение вдоль своей оси: например, если разность отрицательна, перемещение направлено в сторону уменьшения координаты. Вместе эти три изменения описывают переход между точками.
Сначала объединим перемещения вдоль двух осей, например x и y. Они перпендикулярны, поэтому соответствующие отрезки образуют прямоугольный треугольник, а квадрат его гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Затем к полученному отрезку добавим перемещение вдоль третьей оси: оно перпендикулярно плоскости первых двух направлений. По теореме Пифагора квадрат пространственного отрезка равен сумме квадратов отрезка в этой плоскости и третьего перемещения. Поэтому в итоге складываются квадраты всех трёх перемещений.
Обозначим длину AB через d. Последовательное применение теоремы Пифагора даёт равенство d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)². Длина является неотрицательной величиной, поэтому из равенства для квадрата нужно взять неотрицательный корень. Получаем формулу AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Она применима к любым двум точкам в прямоугольной системе координат пространства.
Порядок вычитания координат можно выбирать любой: если поменять его, разность изменит знак, но её квадрат не изменится. Например, (x₂ − x₁)² = (x₁ − x₂)², поэтому расстояние от A до B совпадает с расстоянием от B до A. Это свойство позволяет не беспокоиться о направлении перехода при подстановке координат. Главное — вычитать координаты одной и той же оси друг из друга.
Если у двух точек совпадает координата z, то z₂ − z₁ = 0, а квадрат этой разности тоже равен нулю. В формуле остаются только разности координат x и y: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Так получается знакомая формула расстояния на плоскости, потому что точки с одинаковой высотой лежат в одной плоскости, параллельной координатной плоскости xy.
| Расположение точек | Формула расстояния | Условие применения |
|---|---|---|
| Произвольные точки в пространстве | AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) | Координаты заданы по всем трём осям |
| Точки с одинаковой координатой z | AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | z₁ = z₂ |
| Точки на одной координатной оси | AB = |u₂ − u₁| | Совпадают две координаты, а u — меняющаяся координата вдоль этой оси |
Сначала сравните координаты точек и выясните, какие из них совпадают. Если совпадает одна координата, соответствующее слагаемое можно сразу убрать; если точки лежат на одной оси, остаётся модуль разности меняющихся координат. Для любых точек в пространстве используйте полную формулу с тремя квадратами.
Найдите расстояние между точками A(1, 2, 3) и B(4, 6, 3). Третьи координаты обеих точек равны, поэтому точки лежат в одной плоскости, параллельной плоскости xy. Перемещения по оси z нет, и задачу можно решить по формуле расстояния на плоскости.
Вычтем соответствующие координаты: по x получаем 4 − 1 = 3, по y — 6 − 2 = 4. Разность координат z равна 3 − 3 = 0.
Подставим разности в формулу: AB = √(3² + 4² + 0²). Квадраты равны 9, 16 и 0, поэтому AB = √25 = 5.
Ответ: 5.
Найдите расстояние между C(−2, 1, 0) и D(1, 5, 12). Здесь отличаются координаты по всем трём осям, поэтому ни одно слагаемое нельзя отбросить. Сначала найдём перемещения, а затем применим пространственную формулу.
Для оси x разность равна 1 − (−2) = 3, для оси y — 5 − 1 = 4. По оси z получаем 12 − 0 = 12.
Возведём каждую разность в квадрат и сложим: CD² = 3² + 4² + 12² = 9 + 16 + 144 = 169. Извлечём неотрицательный корень: CD = √169 = 13.
Ответ: 13.
Точка A имеет координаты (2, −1, 3), а точка B — (x, 2, 15). Известно, что AB = 13. Неизвестная координата входит в квадрат разности, поэтому возможны два решения; важно не выбирать знак заранее, а решить уравнение полностью.
Запишем формулу расстояния: 13 = √((x − 2)² + (2 − (−1))² + (15 − 3)²). Возведём обе части в квадрат и получим 169 = (x − 2)² + 9 + 144.
Вычтем 153 из обеих частей: (x − 2)² = 16. Отсюда x − 2 = 4 или x − 2 = −4, поэтому x = 6 или x = −2.
Оба значения дают квадрат разности, равный 16, и удовлетворяют исходному условию. Следовательно, нужно сохранить оба решения, а не только положительное.
Ответ: x = 6 или x = −2.
Первая ошибка — складывать разности координат без возведения в квадрат. Так делать нельзя: перемещения в разных направлениях могут иметь разные знаки, а длина определяется теоремой Пифагора. Чтобы проверить вычисление, убедитесь, что в формуле каждое из трёх перемещений возведено в квадрат до сложения.
Иногда забывают одну из трёх координат и используют только две разности, хотя точки не лежат в одной плоскости с одинаковой координатой по третьей оси. Это происходит из-за привычки к формуле на плоскости. Сравните все три пары координат: исключить слагаемое можно только тогда, когда соответствующая разность равна нулю.
Порядок вычитания иногда считают важным и из-за него получают разные ответы для расстояния от A до B и от B до A. Но после возведения в квадрат знак разности исчезает, поэтому такая разница указывает на ошибку в вычислениях. Для самопроверки поменяйте порядок точек в записи формулы: значение расстояния должно остаться тем же.
В обратной задаче после извлечения квадратного корня из уравнения с квадратом могут оставить только один знак. Например, из (x − a)² = b² следуют и x − a = b, и x − a = −b. Оба случая нужно проверить подстановкой в исходное условие; если оба подходят, ответ содержит два значения неизвестной.
Для работы с расстоянием в пространстве нужно уметь находить координаты точек и пользоваться формулой расстояния на координатной плоскости. Плоская формула становится частным случаем пространственной, когда одна пара соответствующих координат совпадает. Поэтому знакомство с координатами и теоремой Пифагора помогает понять новый результат, а не просто запомнить его.
Дальше формула пригодится в координатном методе стереометрии — способе решать геометрические задачи с помощью координат и вычислений. С её помощью находят длины рёбер, диагоналей и других отрезков в многогранниках. Координаты позволяют свести пространственную задачу к подстановке чисел в знакомое правило.
Почему для нахождения расстояния в пространстве нужны три координаты?
Точка может отличаться от другой точки по трём независимым направлениям: вдоль каждой координатной оси. Чтобы учесть полное перемещение между точками, нужно использовать разности всех трёх пар координат.
Как вывести формулу расстояния между двумя точками в пространстве?
Рассмотрим перемещения вдоль осей как взаимно перпендикулярные отрезки. По теореме Пифагора квадрат расстояния равен сумме квадратов перемещений по двум осям, а затем — сумме квадратов по трём осям. Извлекая квадратный корень, получаем формулу расстояния.
Что делать, если у точек совпадают координаты по одной из осей?
Разность этих координат равна нулю, поэтому её квадрат не влияет на сумму. Формула упрощается: например, при совпадающих координатах z остаются только разности x и y, как в формуле на плоскости.
Зависит ли расстояние от того, в каком порядке вычитать координаты?
Нет. При перестановке порядка вычитания каждая разность меняет знак, но её квадрат остаётся прежним: (a − b)² = (b − a)². Поэтому расстояние между A и B равно расстоянию между B и A.
Почему в задаче на поиск координаты могут получиться два ответа?
После возведения формулы расстояния в квадрат неизвестная координата часто входит в выражение вида (x − a)². Уравнение с квадратом может иметь два корня, расположенных по разные стороны от a. Нужно проверить оба значения в исходном условии.
§ 21. Расстояние между точками в пространстве
