§ 32. Площадь поверхности

Определения и обозначения

Площадь поверхности тела — площадь всей его внешней оболочки. У многогранника оболочка состоит из плоских граней, поэтому площадь поверхности получают сложением площадей всех граней. Это определение помогает понять, какие части тела нужно учитывать при расчёте.

Боковой поверхностью называют боковые грани многогранника или боковую часть тела вращения. Она отличается от оснований: боковые части соединяют основания или вершину с границей основания, а сами основания закрывают тело сверху, снизу или с одной стороны. Такое разделение удобно, когда нужно отдельно найти площадь оболочки без оснований.

Площадь боковой поверхности — сумма площадей боковых граней либо площадь боковой части, полученная при её развёртывании на плоскость. Развёртка — это изображение поверхности на плоскости после разрезания и раскладывания без наложений. По ней часто можно свести вычисление к площадям прямоугольников и треугольников.

Полная площадь поверхности включает боковую поверхность и площади всех оснований. Например, у призмы нужно учесть два основания, а у пирамиды — одно. Если у тела не выделяют основания, как у сферы, полной называют площадь всей его поверхности.

Как это устроено

Развёртка позволяет заменить пространственную поверхность плоской фигурой, площадь которой проще вычислить. При разрезании и раскладывании поверхность не растягивают и не сжимают, поэтому её площадь сохраняется. Сложную оболочку можно разделить на знакомые фигуры и сложить их площади, избегая необходимости измерять поверхность непосредственно на теле.

У призмы боковые грани при развёртывании становятся прямоугольниками, расположенными рядом. Их общая ширина равна сумме сторон основания, то есть периметру Pосн, а высота каждого прямоугольника равна высоте призмы h. Вся развёртка образует прямоугольник со сторонами Pосн и h, поэтому Sбок = Pосн · h; основания в этот прямоугольник не входят.

Правильная пирамида имеет правильный многоугольник в основании, а высоты её боковых граней равны. Эта общая высота боковой грани называется апофемой a. В развёртке боковая поверхность состоит из треугольников: сумма их оснований равна периметру основания, а высота каждого равна апофеме. Складывая площади треугольников по формуле «половина основания на высоту», получаем Sбок = ½ · Pосн · a.

У цилиндра боковая поверхность после развёртывания становится прямоугольником. Одна его сторона — высота h, а другая равна длине окружности основания, 2πr, поэтому Sбок = 2πrh; к полной площади добавляют два круга оснований. У конуса развёртка боковой части — сектор круга радиуса l, где l — образующая, то есть отрезок от вершины до окружности основания. Длина дуги сектора равна длине окружности основания 2πr, откуда площадь сектора равна πrl; высота h — перпендикуляр от вершины к основанию, и она не заменяет образующую.

Сфера состоит из непрерывной кривой поверхности, которую нельзя целиком уложить на плоскость обычной развёрткой без растяжений, сжатий или складок. Поэтому её площадь находят не сложением плоских частей развёртки, а специальной формулой S = 4πR², где R — радиус сферы. Формула учитывает всю оболочку, так что разделять её на боковую часть и основания не требуется.

Площади поверхности основных тел

Сначала определите, какое тело дано, и выберите формулу из нужной строки. Индекс «осн» обозначает основание, P — его периметр, S — площадь; h — высота, r и R — радиусы, l — образующая, a — апофема. Если нужна полная площадь, проверьте, что к боковой части добавлены все основания.

Разбор задач

Задача 1. Прямая призма

Найдите полную площадь поверхности прямой призмы, если площадь основания равна 12 см², периметр основания — 14 см, а высота — 5 см. Чтобы найти полную площадь, нужно сначала вычислить боковую поверхность, а затем добавить оба основания. У призмы два одинаковых основания.

1. Используем формулу боковой площади призмы: Sбок = Pосн · h. Подставляем данные: Sбок = 14 · 5 = 70 см². Периметр, а не площадь основания, нужен потому, что ширина развёртки равна периметру.

2. Находим площадь двух оснований: 2Sосн = 2 · 12 = 24 см². Прибавляем её к боковой площади: Sполн = 70 + 24 = 94 см². Полученная величина включает все грани призмы.

Ответ: 94 см².

Задача 2. Цилиндр с квадратным осевым сечением

Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной 6 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. Осевое сечение проходит через ось цилиндра: его высота равна высоте цилиндра, а ширина — диаметру основания. Поэтому по квадрату можно определить оба нужных размера.

1. Сторона квадрата равна 6 см, значит высота цилиндра h = 6 см, а диаметр основания тоже равен 6 см. Радиус вдвое меньше диаметра: r = 6 : 2 = 3 см. Для формулы площади важно не подставить диаметр вместо радиуса.

2. Используем формулу полной площади цилиндра: Sполн = 2πrh + 2πr². Подставляем найденные значения: Sполн = 2π · 3 · 6 + 2π · 3² = 36π + 18π = 54π см². Первое слагаемое — боковая часть, второе — два круга оснований.

Ответ: 54π см².

Задача 3. Конус

Радиус основания конуса равен 5 см, высота — 12 см. Найдите полную площадь поверхности конуса. Формула боковой площади содержит образующую, поэтому её нужно определить отдельно. Высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник.

1. По теореме Пифагора находим образующую l: l = √(r² + h²) = √(5² + 12²) = √169 = 13 см. Это длина наклонного отрезка от вершины до окружности основания. Она больше высоты конуса.

2. Вычисляем боковую площадь: Sбок = πrl = π · 5 · 13 = 65π см². Площадь основания равна πr² = π · 5² = 25π см². Складываем части: Sполн = 65π + 25π = 90π см².

Ответ: 90π см².

Типичные ошибки

Первая ошибка — принять боковую площадь за полную. Так бывает, когда формулу для боковой части применяют и забывают об основаниях. Проверьте, что входит в оболочку конкретного тела: к призме добавляют два основания, к пирамиде и конусу — одно, к цилиндру — два.

Вторая ошибка — подставить площадь основания вместо его периметра в формулу боковой поверхности призмы. Периметр может быть незаметно спутан с площадью, хотя в развёртке ширина прямоугольника складывается из длин сторон основания. Для проверки запишите единицы: произведение периметра на высоту даёт единицы площади, а умножение площади основания на высоту — объёма.

Третья ошибка — использовать высоту конуса вместо образующей в формуле Sбок = πrl. Эти длины различны: высота перпендикулярна основанию, а образующая наклонена к нему. Если образующая не дана, найдите её по теореме Пифагора l = √(r² + h²), затем проверьте, что результат не меньше высоты.

Четвёртая ошибка — применить формулу Sбок = ½ · Pосн · a к любой пирамиде. Её используют для правильной пирамиды, у которой высоты боковых граней равны и представляют собой апофему. В произвольной пирамиде грани могут иметь разные высоты, поэтому надёжная проверка — отдельно найти площадь каждой боковой грани и сложить результаты.

Связь с другими темами

Для расчёта поверхности нужны формулы площадей плоских фигур: треугольника, прямоугольника и круга. При работе с призмами и другими многогранниками также используют периметр и развёртку, связывающую пространственную фигуру с плоской. Площадь поверхности и объём описывают разные свойства тела: внешнюю оболочку и занимаемое пространство. Эти понятия применяют при изготовлении упаковок, покрытий и оболочек, а также в задачах на выбор размеров, например при уменьшении расхода материала.

Что запомнить

• Полная площадь поверхности складывается из площадей всех её частей.
• Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания, умноженному на высоту.
• Для правильной пирамиды площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему.
• У цилиндра площадь боковой поверхности равна 2πrh.
• У конуса площадь боковой поверхности равна πrl, где l — образующая.
• Площадь сферы радиуса R равна 4πR².
• Перед применением формулы проверьте, какие именно размеры в неё входят.