"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Площадь поверхности показывает, насколько велика поверхность тела, и измеряется в квадратных единицах. Для многогранника её находят, складывая площади всех внешних граней; внутренние и соприкасающиеся части при этом не учитывают. Кривую поверхность нельзя непосредственно разбить на плоские грани, поэтому её площадь связывают с площадями многогранных поверхностей, которые всё точнее её приближают. Чтобы такое определение имело смысл, результат должен быть одним и тем же при разных способах приближения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь поверхности — численная характеристика размера поверхности, выраженная в квадратных единицах. Она позволяет сравнивать поверхности и рассчитывать, например, количество материала для покрытия тела. Это понятие относится к поверхности, а не к объёму тела.
Площадь многогранной поверхности — сумма площадей всех её плоских граней. Каждую грань рассматривают как плоскую фигуру и находят её площадь известными способами. Определение удобно тем, что сводит задачу о поверхности многогранника к вычислению площадей отдельных фигур.
Единица площади — площадь квадрата со стороной, равной единице длины. Если длину измеряют в сантиметрах, площадь выражают, например, в квадратных сантиметрах; при переходе к другой единице меняется численное значение. Поэтому запись единицы рядом с ответом помогает понять масштаб результата.
Площадь кривой поверхности — величина, которую связывают с площадями приближающих её многогранных поверхностей. Такая поверхность не разбита на плоские грани, поэтому прямое сложение площадей граней к ней неприменимо. Приближение многогранниками помогает перенести на неё привычную идею измерения площади.
У многогранной поверхности есть естественные части — её плоские грани. Площадь каждой грани определяется как площадь плоской фигуры, а грани вместе покрывают поверхность многогранника. Если грани не перекрываются по внутренним областям, сумма их площадей даёт площадь всей поверхности, подобно тому как площади частей плоской фигуры складываются в её площадь.
Свойства площади плоских фигур переносятся на многогранные поверхности благодаря такому разбиению. Равные поверхности можно разложить на равные по площади части, поэтому их площади равны. Если поверхность составлена из нескольких неперекрывающихся частей, площадь всей поверхности равна сумме площадей частей: ни одна область при таком подсчёте не теряется и не считается дважды.
У тела учитывают именно внешнюю поверхность, потому что площадь характеризует то, что образует его наружную оболочку. На рисунке часть граней может быть скрыта от взгляда, но от этого она не перестаёт быть внешней гранью, поэтому её тоже включают в сумму. Напротив, грани, соприкасающиеся внутри составного тела, наружу не выходят; их подсчёт дал бы площадь не поверхности готового тела, а его отдельных частей до соединения.
Кривую поверхность можно приближать многогранными поверхностями, чьи плоские грани всё точнее повторяют её форму. Площади этих многогранников уже можно находить сложением площадей граней, поэтому возникает способ подойти к измерению кривой поверхности через знакомые вычисления. При уточнении приближения получаемые площади должны становиться всё ближе к искомой величине.
Одного факта, что каждое приближение выглядит достаточно точным, недостаточно для определения площади. Разные последовательности многогранников могут приближать одну поверхность по-разному и давать разные значения площадей. Чтобы площадь кривой поверхности была определена однозначно, площади приближений при уточнении должны стремиться к одному общему пределу независимо от выбранного способа.
| Вид поверхности | Из чего складывается площадь | Как получают значение | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Многогранная поверхность | Из площадей плоских граней | Вычисляют площадь каждой грани и складывают | Квадратные единицы |
| Кривая поверхность | Из площадей многогранных приближений | Находят общее предельное значение при уточнении приближения | Квадратные единицы |
| Поверхность, составленная из нескольких частей | Из площадей внешних частей без повторного учёта | Складывают площади частей, исключая внутренние и общие участки | Квадратные единицы |
Сначала определите, к какому виду относится поверхность: от этого зависит способ вычисления. Для многогранника удобно выписать все его внешние грани и число одинаковых граней, а для кривой поверхности речь идёт о приближении и пределе. В составной поверхности отдельно проверьте, не попали ли в сумму внутренние или общие участки.
Найдите площадь поверхности куба с ребром 3 см. У куба шесть одинаковых квадратных граней, поэтому достаточно найти площадь одной грани и учесть их количество. Поскольку ребро задано в сантиметрах, итог следует записать в квадратных сантиметрах.
Ответ: 54 см². Проверка проста: шесть граней учтены, а единица площади содержит квадрат длины.
Поверхность тела состоит из прямоугольных граней размером 2 × 3 см и 2 × 4 см; каждый вид встречается по две грани. Найдите площадь поверхности. Сначала вычислим площади прямоугольников, затем умножим каждую на число таких внешних граней. В условии речь идёт о составляющих внешнюю поверхность гранях, поэтому внутренние части в расчёт не добавляются.
Ответ: 28 см². При проверке убедитесь, что учтены все указанные грани и ни одна не посчитана повторно.
Кривую поверхность приближают двумя последовательностями многогранных поверхностей. В первой последовательности площади стремятся к 20 см², и во второй — также к 20 см². Нужно выбрать значение площади поверхности и объяснить, почему способ построения приближений не меняет результат.
Ответ: естественно принять площадь равной 20 см². Общий предел показывает, что оба способа приближения дают одно и то же значение.
Можно сложить площади только видимых на рисунке граней и пропустить скрытые. Так происходит, когда рисунок принимают за полный перечень частей поверхности, хотя он показывает тело лишь с одной стороны. Проверяйте ответ по всем граням тела, а не по их видимости.
При составлении тела из частей иногда дважды учитывают общую внутреннюю грань. Её могли посчитать отдельно у каждой части, забыв, что после соединения она оказалась внутри. Чтобы проверить себя, представьте готовое тело снаружи: в сумму входят только участки, выходящие на внешнюю поверхность.
Ещё одна ошибка — складывать площади частей, не проверив, перекрываются ли они и не учтён ли какой-либо участок повторно. Обычно её допускают, когда разбиение поверхности считают автоматически неперекрывающимся. Перед сложением отметьте границы частей и исключите общие области, если они посчитаны более одного раза.
Площадь иногда записывают в линейных единицах или в единицах третьей степени. Это происходит из-за смешения площади с длиной или объёмом. Проверка размерности проста: площадь выражают в квадратных единицах, например см²; см относится к длине, а см³ — к объёму.
Для работы с площадями поверхностей нужны понятие площади плоской фигуры, её свойства и правила выбора единиц измерения. Эти знания позволяют находить площадь каждой грани, а затем собирать результат для всего многогранника. Далее тот же подход используется при изучении боковой и полной поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра и конуса.
Идея многогранных приближений подготавливает к пониманию площади поверхности шара. Шар не состоит из плоских граней, поэтому его поверхность нельзя измерить простым сложением площадей граней. Приближение помогает связать эту задачу с уже знакомым способом вычисления площадей многогранников.
Почему площадь поверхности тела можно находить как сумму площадей граней?
Поверхность многогранника состоит из плоских граней, а площадь каждой из них можно вычислить по правилам для плоских фигур. Грани вместе образуют всю внешнюю поверхность, поэтому их площади складывают, не допуская перекрытий и повторного учёта.
Нужно ли учитывать невидимые грани тела?
Да, если грань входит во внешнюю поверхность тела. Видимость на рисунке зависит от положения наблюдателя, а площадь характеризует всю поверхность, а не только ту её часть, которую видно.
Входит ли в площадь внешней поверхности грань, по которой склеены две части тела?
Нет, такая грань оказывается внутри составленного тела и снаружи не видна. При подсчёте общей внешней поверхности её не включают; иначе внутренняя часть была бы ошибочно учтена.
Почему площадь поверхности измеряется в квадратных единицах?
Площадь определяется через площадь квадрата со стороной, равной выбранной единице длины. Поэтому единицы площади имеют вид см², м² и так далее, а не см или см³.
Как определяют площадь поверхности, если она не состоит из плоских граней?
Кривую поверхность приближают многогранными поверхностями и рассматривают площади этих приближений. Площадью кривой поверхности считают общее предельное значение, к которому они стремятся; оно должно не зависеть от выбранного способа приближения.
32.1. О понятии площади поверхности
