32.2. Описанные многогранники и определение площади выпуклой поверхности

Определения и обозначения

Описанный около шара многогранник — выпуклый многогранник, все грани которого касаются одного и того же шара; его центр равноудалён от плоскостей граней. Иными словами, шар помещён внутрь, и каждая грань служит касательной плоскостью. Это определение позволяет свести вопрос о шаре к сравнению расстояний до плоскостей.

Выпуклая поверхность — поверхность выпуклого тела, рассматриваемая как его граница. Выпуклость означает, что отрезок между любыми двумя точками тела целиком лежит в этом теле. Такое понимание позволяет заменять поверхность плоскими участками, не теряя представления о внешней границе тела.

Вписанный многогранник — многогранник, вершины которого лежат на выпуклой поверхности. Его грани соединяют выбранные точки и образуют полигональное приближение поверхности. Чем удачнее и мельче расположены участки, тем точнее такое представление.

Площадь выпуклой поверхности — величина, определяемая через площади полигональных поверхностей, приближающих данную поверхность. Площадь каждого такого приближения можно найти обычными способами для плоских многоугольников. Это даёт способ говорить о площади даже у поверхности, которая не является плоской.

Как это устроено

Плоскость касается шара тогда и только тогда, когда расстояние от центра шара до этой плоскости равно радиусу. Поэтому если шар касается каждой грани многогранника, центр находится на одинаковом расстоянии r от плоскостей всех граней. Обратное тоже верно при условии, что шар лежит внутри многогранника: равенство расстояний означает касание каждой плоскости. Так проверка касания заменяется вычислением расстояний.

Расстояние от точки до плоскости измеряют по перпендикуляру — это кратчайшее расстояние между ними. Для точки касания отрезок, проведённый от центра шара, перпендикулярен касательной плоскости; его длина равна r. Поэтому, чтобы найти точку касания, из центра опускают перпендикуляр к плоскости грани. Нужно также проверить, что его основание попадает внутрь самой грани, иначе плоскость касается шара, но грань может не касаться его.

Чтобы приближать выпуклую поверхность, на ней выбирают точки и соединяют их отрезками, получая грани вписанного многогранника. Затем участки делают всё мельче: добавляют точки и делят крупные части на более мелкие. На гладкой поверхности маленький участок становится похож на плоский, поэтому плоскость грани точнее воспроизводит его форму. Это объясняет, почему уточнение разбиения улучшает геометрическое приближение.

Площадь изогнутой поверхности нельзя непосредственно получить как сумму площадей плоских фигур, пока не заменили её набором таких фигур. У полигонального приближения площадь вычисляется точно, но она может отличаться от площади исходной поверхности из-за кривизны участков. При последовательном измельчении разбиения площади приближений стремятся к одному значению. Это предельное значение и принимают за площадь выпуклой поверхности.

Описанный многогранник и полигональное приближение выпуклой поверхности

Сначала найди в таблице объект, о котором идёт речь, а затем сопоставь его условие с нужным свойством. Например, для проверки вписанного шара сравнивают расстояния именно до плоскостей граней. Для площади поверхности ищут строку о приближении и помнят, что значение получают не по одной грани, а по сумме площадей.

Разбор задач

Задача 1. Расстояние до граней

В выпуклый многогранник вписан шар радиуса r. Нужно найти расстояние от его центра до плоскости каждой грани. Здесь не требуется знать форму или размеры многогранника: достаточно определения касания. Радиус задаёт одно и то же расстояние для всех граней.

1. Так как шар касается каждой грани, плоскость каждой грани является касательной к шару.
2. Расстояние от центра шара до касательной плоскости равно радиусу шара.
3. Следовательно, для любой грани это расстояние составляет r; перпендикуляр из центра к плоскости указывает на точку касания.

Ответ: расстояние до плоскости каждой грани равно r.

Задача 2. Шар около квадратной пирамиды

Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, высота равна 4, проекция вершины совпадает с центром основания. Проверим, можно ли описать около неё шар, и найдём радиус. Из симметрии центр возможного шара должен лежать на оси пирамиды: он должен быть равноудалён от четырёх одинаково расположенных боковых граней. Обозначим через z расстояние центра от плоскости основания.

1. Расстояние до плоскости основания равно z. Рассмотрим боковую грань над стороной квадрата и сечение плоскостью, перпендикулярной этой стороне и проходящей через ось пирамиды.
2. В сечении основание грани отстоит от оси на 3, а вершина находится на высоте 4. Поэтому уравнение плоскости грани можно записать как x/3 + z′/4 = 1, где z′ — высота точки.
3. Для центра шара на оси (x = 0, z′ = z) расстояние до этой плоскости равно (1 − z/4)/√(1/9 + 1/16) = 3(4 − z)/5. Это расстояние должно равняться расстоянию z до основания.
4. Решаем z = 3(4 − z)/5: получаем 8z = 12, откуда z = 1,5. Эта точка находится внутри пирамиды, а перпендикуляры попадают внутрь основания и боковых граней.

Ответ: шар существует, его радиус равен 1,5.

Задача 3. Площадь по приближениям

Выпуклую поверхность разбили на участки и построили по ним вписанные полигональные приближения. Требуется объяснить, как по их площадям определяют площадь исходной поверхности. Площадь одного многогранника можно вычислить точно, сложив площади его плоских граней. Однако это пока площадь модели, а не обязательно исходной поверхности.

1. Для каждого разбиения находят площади всех граней и складывают их.
2. Затем разбиение уточняют: участки становятся мельче, а полигональная поверхность точнее повторяет исходную.
3. Рассматривают последовательность полученных сумм площадей и определяют значение, к которому они стремятся при уточнении.

Ответ: площадь выпуклой поверхности определяют как предел площадей всё более точных полигональных приближений.

Типичные ошибки

Считать достаточным касание нескольких граней. Это ошибка, потому что описанность требует касания каждой грани, а не только части из них. Её допускают, проверив удобные грани и перенеся результат на остальные. Проверь условие отдельно для всех плоскостей многогранника.

Путать описанный многогранник с вписанным в шар. В первом случае шар касается граней, во втором на поверхности шара лежат вершины многогранника. Путаница возникает из-за похожих слов «описанный» и «вписанный». Для самопроверки уточни, что именно лежит на поверхности шара: грани касаются её или вершины принадлежат ей.

Сравнивать расстояния до вершин. Для вписанного шара нужно сравнивать расстояния от центра до плоскостей граней, а не до вершин. Расстояния до вершин относятся к другой проверке — например, к принадлежности вершин сфере. Перед вычислением выпиши геометрический объект, расстояние до которого требуется найти.

Считать площадь одного приближения точной площадью поверхности. При конечном разбиении плоские грани лишь заменяют изогнутые участки, поэтому остаётся погрешность. Ошибка возникает, когда точный расчёт площади многогранника принимают за точный расчёт исходной поверхности. Убедись, что речь идёт о площади модели, и рассмотри, как она меняется при измельчении разбиения.

Связь с другими темами

Для проверки касания понадобятся расстояние от точки до плоскости и признак касания плоскости к шару. Площадь полигонального приближения находят по формулам площадей плоских многоугольников, складывая площади граней. Такой подход связан с определением площадей шара и других тел через приближения. Условие равных расстояний до граней также помогает решать задачи о телах с вписанным шаром, в том числе находить их площади и объёмы.

Что запомнить

• Шар, вписанный в многогранник, касается плоскости каждой его грани.
• Расстояние от центра вписанного шара до плоскости любой грани равно радиусу шара.
• Для существования вписанного шара расстояния от его центра до плоскостей всех граней должны совпадать.
• Вписанные многогранники приближают выпуклую поверхность полигональными участками.
• Площадь выпуклой поверхности определяют через площади всё более точных полигональных приближений.
• Площадь полигональной поверхности равна сумме площадей её граней.