"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Подобие связывает фигуры одинаковой формы, но, возможно, разного размера. Соответствующие длины таких фигур пропорциональны, а их отношение называют коэффициентом подобия. Если все линейные размеры изменились в k раз, площади изменятся в k² раз, а объёмы — в k³ раз. Принцип подобия помогает находить неизвестные характеристики по данным о другой, более удобной фигуре, например у масштабной модели.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные фигуры — фигуры одинаковой формы, у которых соответствующие линейные размеры пропорциональны. Размеры могут быть разными: одна фигура может быть увеличенной или уменьшенной копией другой. Например, у подобных треугольников соответствующие углы равны, а стороны относятся в одном и том же отношении. Это определение помогает отличать подобие от простого внешнего сходства.
Коэффициент подобия — отношение соответствующих длин одной фигуры к другой. Если первой считаем фигуру с длиной стороны a₁, а второй — с соответствующей длиной a₂, то k = a₁/a₂. Коэффициент показывает, во сколько раз линейный размер первой фигуры больше или меньше соответствующего размера второй. Порядок важен: при перестановке фигур вместо k получим 1/k.
Линейные размеры подобных тел — соответствующие длины, например рёбра, высоты и радиусы. Все такие длины относятся друг к другу как коэффициент подобия: отношение любой пары соответствующих размеров одинаково. Это позволяет взять для вычисления наиболее удобную пару элементов. Нужно лишь убедиться, что выбранные длины действительно соответствуют друг другу.
Принцип подобия состоит в том, что известные характеристики одной фигуры можно использовать для нахождения характеристик другой подобной фигуры с учётом масштаба. Для длин учитывают коэффициент k, для площадей — k², для объёмов — k³. Поэтому по известным размерам модели можно определить характеристики реального объекта, если модель и объект подобны. Принцип полезен и в обратной задаче, когда по площади или объёму находят линейный масштаб.
Подобие сохраняет форму, но меняет масштаб: каждая соответствующая длина увеличивается или уменьшается одинаково. Если одна сторона стала в k раз длиннее, то и любая другая соответствующая сторона изменилась в k раз. Иначе углы и пропорции фигуры нарушились бы, и она перестала бы быть подобной исходной. Поэтому для любой пары соответствующих длин отношение одинаково.
Коэффициент связывает размеры двух фигур одним числом, но его значение зависит от того, какую фигуру поставили первой. Если длина первой стороны равна 6 см, а второй — 3 см, то коэффициент первой ко второй равен 6/3 = 2. Для обратного порядка он равен 3/6 = 1/2. Это не противоречие: один коэффициент описывает увеличение, другой — уменьшение при переходе в противоположную сторону.
Площадь зависит от двух измерений. Например, площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину; если обе стороны умножить на k, новая площадь будет (k · длина) · (k · ширина), то есть исходная площадь, умноженная на k². Тот же результат действует для любых подобных плоских фигур: их форма одинакова, а площадь масштабируется в двух направлениях. Значит, отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
Объём зависит от трёх измерений. У прямоугольного параллелепипеда он равен произведению длины, ширины и высоты, поэтому при увеличении каждой из них в k раз получаем множитель k · k · k = k³. Это рассуждение применимо к подобным телам и объясняет, почему объём изменяется быстрее, чем отдельная длина. Отношение объёмов двух тел равно кубу отношения их соответствующих линейных размеров.
Принцип подобия превращает известные данные в способ найти неизвестные. Если известна длина у одной фигуры, а коэффициент и соответствие элементов установлены, можно вычислить другую длину; если известна площадь или объём, сначала используют квадрат или куб коэффициента. В обратных задачах из отношения площадей извлекают квадратный корень, а из отношения объёмов — кубический. Важно следить, какой объект соответствует числителю и знаменателю, чтобы получить нужный порядок величин.
В таблице коэффициент k относится к переходу от первой фигуры ко второй: размеры второй получают умножением размеров первой на k. Поэтому приведённые множители показывают, во сколько раз изменяется характеристика при таком переходе. Если коэффициент задан в обратном направлении, используйте обратное число.
| Характеристика | Зависимость от коэффициента подобия k |
|---|---|
| Соответствующие длины | умножаются на k |
| Площади | умножаются на k² |
| Объёмы | умножаются на k³ |
Например, при увеличении линейных размеров в 3 раза площадь возрастёт в 9 раз, а объём — в 27 раз. Если известны две площади или два объёма, чтобы найти коэффициент по таблице, нужно выполнить обратное действие.
Условие. Два подобных треугольника имеют соответствующие стороны 4 см и 10 см. Найти коэффициент подобия первого треугольника ко второму. Слово «первого» задаёт порядок отношения, поэтому в числителе должна оказаться сторона первого треугольника. Не нужно выбирать отношение большего числа к меньшему только потому, что коэффициент кажется привычнее.
Ответ: k = 0,4.
Условие. Подобные многоугольники имеют коэффициент подобия 3. Площадь меньшего равна 8 см². Найти площадь большего. Здесь переход идёт от меньшего многоугольника к большему: линейные размеры увеличиваются втрое. Площадь нельзя умножать только на 3, потому что она учитывает два направления.
Ответ: 72 см².
Условие. Два подобных тела имеют объёмы 24 см³ и 192 см³. Найти отношение соответствующих линейных размеров. Чтобы не перепутать направление отношения, сначала будем сравнивать первое тело со вторым и считать отношение длин l₁/l₂. Объём зависит от трёх линейных измерений, поэтому понадобится кубический корень.
Ответ: отношение линейных размеров первого тела ко второму равно 1:2.
Площадь иногда умножают на k, хотя это правило относится к длинам. Ошибка возникает, если забыть, что у площади два измерения, и оба меняются в k раз. Проверка проста: выпишите множитель k · k и получите k²; например, при увеличении стороны квадрата в 2 раза его площадь возрастает в 4 раза.
Объём могут умножить на k², применив правило для площади. Так происходит, когда не учитывают третье измерение тела. Для проверки запишите произведение трёх линейных масштабов: k · k · k = k³; если k = 2, объём должен увеличиться в 8 раз, а не в 4.
Коэффициент подобия часто переворачивают, потому что не фиксируют порядок фигур. Отношение 4/10 не равно отношению 10/4, и оба числа могут быть правильными для разных порядков. Перед вычислением подпишите, какая фигура первая, а какая вторая, а затем проверьте, соответствует ли результат этому направлению.
Фигуры не становятся подобными только оттого, что на рисунке выглядят одинаково. Рисунок может быть неточным, а внешнее сходство не доказывает пропорциональность всех соответствующих размеров. Нужно обосновать подобие по условиям задачи или геометрическим признакам и только затем переносить длины, площади и объёмы. Самопроверка: коэффициент, найденный по разным парам соответствующих длин, должен совпасть.
Для задач на подобие нужны отношения и пропорции: именно с их помощью сравнивают соответствующие длины и составляют вычисления. Также полезно знать формулы площадей плоских фигур и объёмов тел, чтобы видеть, почему при изменении масштаба возникают квадрат и куб коэффициента. Принцип подобия связывает геометрию с задачами о масштабных моделях: модель и объект позволяют сопоставлять размеры, площади и объёмы. Он пригодится и при решении задач на характеристики тел, если известна подобная фигура.
Что означает, что две фигуры подобны?
Это значит, что фигуры имеют одинаковую форму, хотя их размеры могут различаться. Все соответствующие линейные размеры одной фигуры пропорциональны размерам другой.
Как определить коэффициент подобия?
Выберите пару соответствующих длин и разделите длину первой фигуры на длину второй. Нужно явно учитывать порядок: при перестановке фигур отношение станет обратным.
Почему площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента?
Площадь измеряет двумерную величину: при увеличении всех длин в k раз увеличиваются оба направления. Поэтому площадь умножается на k · k = k².
Почему объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента?
Объём зависит от трёх измерений тела. Если каждое из них увеличить в k раз, объём умножится на k · k · k = k³.
Как не перепутать коэффициент подобия с его обратным?
До вычисления запишите, какая фигура считается первой, а какая второй. Затем делите соответствующую длину первой на длину второй; при обратном порядке коэффициент заменяется на 1/k.
5.4. Принцип подобия
