"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Объём показывает, какое пространство занимает тело, и измеряется в кубических единицах. Для призмы он равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн · h. Эта формула работает и для прямой, и для наклонной призмы, потому что их объём зависит от площади основания и расстояния между основаниями, а не от наклона боковых рёбер. Научившись находить площадь основания и отличать высоту от бокового ребра, можно решать задачи на объём призмы и выводить формулы для параллелепипеда и куба.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, показывающая, сколько единичных кубов помещается в этом теле. Единичный куб имеет ребро, равное выбранной единице длины, например 1 см, а его объём равен 1 см³. Значит, объём измеряют в кубических единицах: см³, м³ и других. Это помогает не только сравнивать тела, но и понимать, какую именно меру используют при вычислении.
Объём призмы — числовая характеристика пространства, занимаемого призмой; его обозначают буквой V. Он позволяет сравнивать вместимость тел и рассчитывать, сколько вещества нужно для заполнения призмы. Для нахождения V понадобятся свойства основания и высота тела. Результат зависит от единиц, в которых заданы размеры.
Площадь основания призмы — площадь многоугольника, лежащего в плоскости одного из её оснований. Её обозначают Sосн. Основания призмы равны, поэтому площадь любого из них одинакова. Эта величина показывает, сколько квадратных единиц занимает один слой призмы, и входит в формулу объёма.
Высота призмы — расстояние между плоскостями её оснований; её обозначают h. Это расстояние измеряют по перпендикуляру к плоскостям оснований, а не вдоль наклонной стороны. У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром, у наклонной — обычно нет. Различать их нужно, чтобы подставлять в формулу именно нужную длину.
Объём можно измерять, заполняя тело кубами одинакового размера без промежутков и наложений. Если ребро каждого куба равно единице, число таких кубов и есть числовое значение объёма в выбранных единицах. При переходе к более мелким кубам в том же теле помещается больше единиц, поэтому число возрастает. Например, в одном кубическом дециметре содержится 1000 кубических сантиметров: каждое измерение увеличивается в десять раз, а три измерения дают множитель 10³.
У прямой призмы с прямоугольным основанием можно представить объём как стопку одинаковых слоёв. Площадь основания показывает, сколько квадратных единиц занимает слой, а высота — сколько единиц длины тело протягивается в направлении, перпендикулярном основанию. Поэтому произведение площади слоя на число слоёв даёт объём: V = Sосн · h. Например, основание площадью 6 см² и высота 4 см дают 24 см³.
У наклонной призмы слои не стоят вертикально, но это не меняет объём. Если мысленно сдвигать параллельно основанию части призмы, их площади и расстояние между основаниями сохраняются. Призмы с равными основаниями и одинаковой высотой имеют равные объёмы, даже если наклонены по-разному. Поэтому формула V = Sосн · h применима к любой призме, а наклон боковых рёбер в вычисление не входит.
Для решения задачи сначала определяют форму основания и находят его площадь по подходящей формуле. Затем находят высоту призмы — расстояние между плоскостями оснований; если она не дана напрямую, используют дополнительные сведения задачи. После этого перемножают площадь и высоту. Единицы также проверяют: площадь в см², умноженная на высоту в сантиметрах, даёт объём в см³.
Прямоугольный параллелепипед — частный случай призмы с прямоугольным основанием. Если стороны основания равны a и b, то его площадь равна ab, а высота обозначена c, поэтому V = ab · c = abc. У куба все рёбра равны a, так что площадь основания равна a² и высота тоже равна a. Подстановка в формулу призмы приводит к V = a² · a = a³.
| Тело | Площадь основания | Высота | Объём |
|---|---|---|---|
| Призма | Sосн | h | V = Sосн · h |
| Прямоугольный параллелепипед | ab | c | V = abc |
| Куб | a² | a | V = a³ |
В таблице сначала найдите строку, соответствующую нужному телу, затем подставьте известные размеры в формулы площади основания и объёма. Для параллелепипеда a и b — стороны основания, c — высота, а у куба все рёбра равны a. Такая запись показывает, что формулы для частных случаев следуют из общей формулы призмы.
Основание призмы — прямоугольник со сторонами 4 см и 7 см, высота призмы — 5 см. Найдём объём. Здесь основание задано двумя сторонами, поэтому сначала удобно найти площадь прямоугольника, а затем применить формулу для призмы. Все длины указаны в сантиметрах.
Найдём площадь основания: Sосн = 4 · 7 = 28 см². Это площадь одного прямоугольного слоя призмы. Она выражена в квадратных сантиметрах.
Подставим площадь и высоту в формулу V = Sосн · h. Получим V = 28 · 5 = 140 см³. При умножении см² на см единицы становятся кубическими.
Ответ: 140 см³. Проверка единиц подтверждает, что вычислен объём, а не площадь. В задаче использована именно высота призмы, заданная отдельно.
Площадь основания призмы равна 24 см², а объём — 168 см³. Требуется найти высоту. Неизвестное h входит в формулу как множитель, поэтому для его нахождения объём нужно разделить на площадь основания. Так мы используем ту же связь между тремя величинами в обратном направлении.
Запишем формулу: V = Sосн · h. Выразим из неё высоту: h = V / Sосн. Такой переход выполняется делением обеих частей равенства на площадь основания.
Подставим данные: h = 168 см³ / 24 см² = 7 см. При делении кубических сантиметров на квадратные сантиметры остаются сантиметры. Это совпадает с единицей измерения высоты.
Ответ: 7 см. Проверка: 24 см² · 7 см = 168 см³, что совпадает с заданным объёмом. Значит, высота найдена верно.
Основание наклонной призмы — треугольник со сторонами 6 см и 8 см, угол между ними равен 30°, высота призмы — 10 см. Сначала найдём площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними, а затем умножим её на высоту. Наклонная форма не меняет формулу объёма, но особенно важно не принять за высоту длину бокового ребра.
Площадь треугольника вычислим по формуле Sосн = ½ab sin γ. Подставим a = 6 см, b = 8 см, γ = 30°, причём sin 30° = ½. Получим Sосн = ½ · 6 · 8 · ½ = 12 см².
Применим формулу объёма призмы: V = Sосн · h. Подставим найденную площадь и заданную высоту: V = 12 · 10 = 120 см³. Длина высоты измерена перпендикулярно плоскостям оснований.
Ответ: 120 см³. Площадь основания в этой задаче не равна половине произведения сторон, потому что угол между ними не прямой; нужен множитель sin 30°. После нахождения площади остаётся умножить её на высоту призмы.
Подставляют длину бокового ребра вместо высоты. У наклонной призмы ребро идёт под углом, поэтому его длина может оказаться больше расстояния между основаниями. Ошибка возникает из-за того, что обе величины выглядят как отрезки на чертеже. Проверьте, измеряет ли выбранный отрезок расстояние перпендикулярно плоскостям оснований.
Умножают площадь основания на боковое ребро без проверки перпендикулярности. Так можно поступать только тогда, когда боковое ребро и есть высота, например у прямой призмы. Часто принимают любую длину, соединяющую основания, за нужный множитель. Проверьте, образует ли ребро прямой угол с плоскостью основания; если нет, ищите высоту отдельно.
Забывают найти площадь основания или неверно вычисляют её. Формула объёма требует именно площадь, а не длину стороны или периметр основания. Такая ошибка особенно вероятна у треугольника, где площадь зависит от высоты к выбранной стороне либо от двух сторон и угла между ними. Перед умножением запишите формулу площади фигуры и проверьте, что результат дан в квадратных единицах.
Записывают объём в квадратных единицах. Это происходит, когда единицы площади переносят в ответ без учёта дополнительного умножения на высоту. Поскольку см² умножаются на см, итоговая единица — см³; аналогично м² · м = м³. Проверьте размерность результата: у объёма три измерения длины, поэтому единица должна быть кубической.
Чтобы находить объём призмы, нужно уметь вычислять площади многоугольников: прямоугольников, треугольников и других оснований. Также важно различать высоту призмы и её боковое ребро, поскольку у наклонной призмы они могут не совпадать. Формула объёма прямоугольного параллелепипеда получается из формулы призмы, если основание прямоугольное. Её используют и при расчёте объёмов многогранников, которые можно разделить на несколько призм.
Почему объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту?
В прямой призме тело можно представить как множество одинаковых слоёв толщиной в единицу длины. Каждый слой имеет площадь основания, а число таких слоёв связано с высотой, поэтому объём равен Sосн · h. Этот результат сохраняется и для наклонной призмы.
Как найти высоту призмы, если известны её объём и площадь основания?
Из равенства V = Sосн · h выразите высоту: h = V / Sосн. Например, если V = 168 см³, а Sосн = 24 см², то h = 168 / 24 = 7 см.
Можно ли использовать длину бокового ребра вместо высоты?
Только если боковое ребро перпендикулярно плоскостям оснований, как у прямой призмы. У наклонной призмы боковое ребро обычно наклонено, поэтому его длина не равна высоте.
Меняется ли формула объёма для наклонной призмы?
Нет, для любой призмы используется формула V = Sосн · h. В ней h — расстояние между плоскостями оснований, а не длина бокового ребра.
В каких единицах записывают объём призмы?
Объём записывают в кубических единицах: например, см³, м³ или дм³. Единица должна соответствовать единицам длины в вычислениях: если площадь дана в см², а высота в сантиметрах, объём получится в см³.
5.3. Объём призмы
