"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Объём призмы показывает, сколько пространства занимает это тело. Чтобы его найти, достаточно знать площадь многоугольника в основании и перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Формула V = Sосн h работает для прямых и наклонных призм: форма боковых граней на объём не влияет. Разберём, почему это так, как не перепутать высоту с боковым ребром и как применять формулу в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, характеризующая, сколько места занимает тело. Если одно тело можно целиком поместить внутрь другого, не выходя за его границы, объём первого не больше объёма второго. Объёмы измеряют кубическими единицами: например, кубический сантиметр — это объём куба с ребром 1 см.
Объём призмы — объём пространства, занимаемого призмой; его обозначают буквой V. Сравнивая такие объёмы, можно определить, какая призма вместит больше жидкости или сыпучего вещества. Для вычислений объём связывают с размерами призмы.
Высота призмы — расстояние между плоскостями её оснований. Это расстояние измеряют по перпендикуляру к основаниям, потому что наклонное расстояние между плоскостями было бы длиннее. У наклонной призмы боковое ребро обычно наклонено, поэтому его длина не равна высоте.
Площадь основания призмы — площадь многоугольника, который лежит в плоскости основания; её обозначают Sосн. Основанием может быть, например, треугольник, четырёхугольник или другой многоугольник. Эта площадь показывает размер одного поперечного сечения призмы, а вместе с высотой позволяет определить объём.
Призма состоит из двух равных оснований, лежащих в параллельных плоскостях, и боковых граней. Если смотреть на неё слоями, параллельными основаниям, каждый слой будет иметь ту же форму и площадь, что и основание. Поэтому объём зависит от площади такого сечения и от расстояния, на котором эти сечения расположены друг от друга. Наклон боковых граней меняет очертания боковой поверхности, но не эти две величины.
Идею измерения объёма можно представить с помощью единичных кубов. Если тело составлено из кубиков с ребром 1 см, их количество показывает объём в кубических сантиметрах. Когда тело не удаётся заполнить целым числом таких кубов, объём измеряют более мелкими кубиками или получают вычислением. Кубические единицы возникают потому, что объём описывает пространство в трёх измерениях: длину, ширину и высоту.
У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Поэтому такое ребро само измеряет расстояние между плоскостями оснований и совпадает с высотой призмы. У наклонной призмы боковые рёбра идут под углом к основаниям, так что их длина измеряет наклонный отрезок, а не перпендикулярное расстояние. Высоту в этом случае находят как длину перпендикуляра между плоскостями оснований.
Чтобы сравнить объёмы двух призм с равными площадями оснований и одинаковой высотой, можно представить, что они состоят из тонких слоёв. На одной и той же высоте соответствующие слои имеют равные площади, а общий промежуток между основаниями тоже одинаков. Значит, в обеих призмах помещается равный объём. Форма основания и наклон боковых рёбер сами по себе этот вывод не меняют.
Из этого принципа следует формула объёма призмы: V = Sосн h. Площадь основания задаёт площадь каждого параллельного ему слоя, а высота — общую протяжённость тела; их произведение учитывает оба параметра. Для прямой призмы формула применима, поскольку её высота равна боковому ребру. Для наклонной призмы берут перпендикулярную высоту, поэтому та же формула остаётся верной и не требует знания формы боковых граней.
| Тело | Площадь основания | Высота | Объём |
|---|---|---|---|
| Любая призма | Sосн | Расстояние между плоскостями оснований h | V = Sосн h |
| Прямая призма | Площадь многоугольника основания | Равна боковому ребру | V = Sосн h |
| Прямоугольный параллелепипед | Площадь прямоугольного основания | Равна третьему измерению | V = abc |
| Куб | Площадь квадратного основания | Равна ребру | V = a³ |
Сначала определите, какое тело дано, и найдите площадь его основания. Затем выберите высоту именно как расстояние между плоскостями оснований и подставьте значения в формулу. Для прямоугольного параллелепипеда и куба таблица показывает, как общая формула превращается в более короткие частные формулы.
Задача 1. Основание призмы — треугольник площадью 12 см², высота призмы равна 7 см. Найдите объём. Здесь площадь основания уже дана, поэтому нужно применить формулу объёма напрямую. Произведение квадратных сантиметров на сантиметры даст кубические сантиметры.
Ответ: 84 см³.
Задача 2. Объём призмы равен 180 см³, площадь основания — 15 см². Найдите высоту призмы. Неизвестная величина здесь является множителем в формуле, поэтому разделим объём на площадь основания. Полученная единица должна быть единицей длины.
Ответ: 12 см.
Задача 3. Основание наклонной призмы — параллелограмм со сторонами 5 см и 8 см и углом 30° между ними. Высота призмы равна 9 см. Найдите объём. Сначала вычислим площадь основания: для параллелограмма с известными сторонами и углом между ними используем S = ab sin α. В формулу объёма подставляем указанную перпендикулярную высоту призмы, а не наклонное боковое ребро.
Ответ: 180 см³.
Подставляют боковое ребро вместо высоты наклонной призмы. Так происходит, потому что боковое ребро легко принять за расстояние между основаниями. Но при наклоне это разные отрезки. Проверьте, перпендикулярно ли ребро основаниям; если нет, найдите высоту отдельно.
Путают высоту призмы с высотой многоугольника основания. Обе величины называют высотой, хотя первая относится к расстоянию между плоскостями оснований, а вторая — к плоской фигуре. Ошибку часто вызывает обозначение обеих величин одной буквой в разных задачах. Уточните, к какому объекту проведён перпендикуляр.
Записывают объём в квадратных единицах. Это случается, когда замечают площадь основания, но забывают, что она умножается на длину. Проверка проста: см² · см = см³, а м² · м = м³. В ответе должны стоять кубические, а не квадратные единицы.
Неверно находят площадь основания или смешивают единицы измерения. Например, площадь параллелограмма нельзя вычислять как произведение сторон без учёта угла, если стороны не перпендикулярны. Также нельзя напрямую умножать величины в разных единицах. Перед расчётом проверьте формулу площади и приведите все данные к согласованным единицам.
Для решения задач нужны знания о площадях многоугольников, перпендикуляре и расстоянии между параллельными плоскостями. Эти понятия помогают найти основание и правильно определить высоту призмы. Если основание сложное, его площадь находят с помощью формул для соответствующего многоугольника.
Формула V = Sосн h применяется в задачах на объёмы многогранников и на поиск неизвестных размеров тела. Например, зная объём и площадь основания, можно найти высоту. Важно проверять, согласуются ли единицы всех величин.
Объём прямоугольного параллелепипеда и куба — частные случаи объёма призмы. Для параллелепипеда площадь прямоугольного основания равна ab, поэтому V = abc. Для куба все рёбра равны a, и получается V = a³.
Почему в формуле объёма призмы нужно умножать площадь основания именно на высоту?
Высота — это расстояние между плоскостями оснований, поэтому она показывает, насколько призма протяжённа в направлении, перпендикулярном основаниям. Умножение площади основания на это расстояние даёт объём слоя, занимаемого призмой, независимо от наклона боковых граней.
Как найти высоту наклонной призмы, если известны её боковые рёбра?
Одной длины боковых рёбер обычно недостаточно: нужно знать ещё и угол между ребром и плоскостью основания или другие данные, позволяющие найти перпендикулярное расстояние между основаниями. Например, если ребро длины l наклонено к основанию под углом α, то высота равна l sin α.
Можно ли выбрать любое основание призмы для вычисления объёма?
Да. Два основания призмы равны, поэтому их площади одинаковы, а расстояние между их плоскостями одно и то же. При выборе любого из оснований произведение Sосн h не изменится.
В каких единицах записывать объём, если размеры даны в сантиметрах?
Если площадь основания выражена в квадратных сантиметрах, а высота — в сантиметрах, объём записывают в кубических сантиметрах: см³. Если исходные величины даны в разных единицах, сначала приведите их к одним единицам.
Чем формула объёма прямоугольного параллелепипеда связана с формулой объёма призмы?
Прямоугольный параллелепипед — частный случай призмы. Если стороны прямоугольного основания равны a и b, а высота равна c, то Sосн = ab и V = Sосн h = abc.
68. Объем призмы
