69. Равновеликие тела

Определения и обозначения

Равновеликие тела — это тела, объёмы которых равны. Равновеликость не требует одинаковой формы или совпадения размеров: длинное и узкое тело может иметь такой же объём, как более короткое и широкое. Это понятие позволяет сравнивать тела по количеству занимаемого пространства, не предполагая, что они одинаковы внешне.

Сечение тела плоскостью — фигура, которая получается при пересечении тела плоскостью. Если перемещать плоскость, форма и площадь сечения могут меняться, поэтому важно указывать, где именно проведено сечение. Сравнение таких фигур помогает судить о том, как устроено тело внутри, а не только о его внешнем виде.

Принцип Кавальери — утверждение о том, что тела одинаковой высоты равновелики, если площади их сечений плоскостями, параллельными основаниям и находящимися на одинаковом расстоянии от них, равны. Высота здесь — расстояние между параллельными плоскостями, между которыми расположено тело. Принцип нужен, чтобы устанавливать равенство объёмов по сечениям, даже когда вычислить объёмы напрямую непросто.

Как это устроено

Объём описывает всё тело целиком, но его трудно сравнивать, если формы сложные или различаются. Вместо этого можно провести через тела плоскости, параллельные основаниям, и посмотреть на сечения на одной высоте. Если площади сечений совпадают на каждом уровне, то в соответствующих местах тела имеют одинаковую «ширину» в смысле площади. Такое сравнение заменяет попытку мысленно совместить тела.

Представим каждое тело как набор очень тонких слоёв, расположенных один над другим. У двух сечений на одной высоте толщина соответствующих слоёв одинакова, поскольку слои идут между одними и теми же уровнями. Если площади сечений равны, то и объёмы тонких слоёв равны: объём такого слоя примерно равен площади сечения, умноженной на его толщину. Складывая слои по всей высоте, получаем одинаковый общий объём.

Перед применением принципа нужно проверить все его условия, потому что каждое отвечает за точность сравнения. Тела должны находиться между параллельными плоскостями, чтобы можно было одинаково отсчитывать уровни, и иметь одну высоту. Затем сравнивают площади сечений, параллельных этим плоскостям, причём каждое сечение первого тела сопоставляют со сечением второго на том же расстоянии от основания. Если хотя бы один уровень пропущен или высоты различны, оснований для вывода нет.

Принцип Кавальери особенно полезен, когда объём нельзя удобно получить прямым подсчётом или готовой формулой. Сначала выбирают основания и задают общий уровень, затем описывают сечения обоих тел на произвольной высоте. Если удаётся доказать равенство площадей при любом допустимом положении плоскости, то по принципу Кавальери равны и объёмы. Таким образом геометрическую задачу о целом теле сводят к сравнению плоских фигур.

Равновеликость не означает, что тела равны как геометрические фигуры. Равные тела можно совместить движением, а равновеликие должны лишь иметь одинаковый объём. Например, призма может быть наклонной, а другая — прямой: при подходящих основаниях и высоте их сечения на одинаковом уровне совпадают по площади. Следовательно, одинаковое количество пространства может быть распределено внутри тела по-разному.

Принцип Кавальери: условия и вывод

Пользуйся таблицей как последовательной проверкой: сначала проверь расположение и высоту тел, затем сравни сечения на каждом уровне. Только после этого можно делать вывод о равенстве объёмов. Равенство одной пары сечений или только оснований для такого вывода не подходит.

Разбор задач

Задача 1

Два тела расположены между одной парой параллельных плоскостей. Площади их сечений на одинаковой высоте равны. Можно ли заключить, что тела равновелики? По условию положение сечений сопоставлено правильно, но нужно также проверить высоту тел. Это позволяет решить, выполнены ли все условия принципа.

1. Обозначим плоскости, между которыми расположены тела, как нижнюю и верхнюю. Общая высота равна расстоянию между ними, поэтому для обоих тел она одинакова. Значит, условие об одинаковой высоте выполнено.

2. Уточним, что равенство площадей относится к сечениям на каждом допустимом уровне, а не только к одному выбранному сечению. Именно такое сопоставление требуется в принципе Кавальери. При указанном в задаче равенстве всех соответствующих сечений третье условие также выполнено.

3. Теперь применяем принцип Кавальери: тела имеют одинаковую высоту и равные площади сечений на одинаковых расстояниях от оснований. Следовательно, их объёмы равны. Если бы условие задачи говорило лишь об одной паре равных сечений, сделать этот вывод было бы нельзя.

Ответ: да, если равенство площадей выполняется для всех соответствующих высот, тела равновелики.

Задача 2

Сравним прямую и наклонную призмы с равными площадями оснований и одинаковой высотой. Внешняя форма у них различается, поэтому сравнение по виду не помогает. Выберем сечения, параллельные основаниям: у каждой призмы площадь такого сечения на любой высоте равна площади её основания.

1. Проверим высоту: по условию она одинакова для обеих призм. Значит, они расположены между параллельными плоскостями, отстоящими друг от друга на одно и то же расстояние. Условие об общей высоте выполнено.

2. Проведём через обе призмы плоскость, параллельную основаниям, на произвольной высоте. В призме такая плоскость пересекает боковые рёбра и образует сечение, равное основанию по площади. Это верно и для прямой, и для наклонной призмы.

3. Площади оснований равны по условию, следовательно, площади сечений на выбранной высоте равны. Поскольку высота выбрана произвольно, равенство выполняется на каждом уровне. Применяем принцип Кавальери и заключаем, что объёмы призм одинаковы.

Ответ: призмы равновелики.

Задача 3

Пусть площадь сечения первого тела на высоте h равна площади сечения второго на той же высоте при любом допустимом h. Требуется доказать равновеликость тел. Условие уже обеспечивает совпадение площадей сечений, но прежде необходимо убедиться, что сравниваются тела одинаковой высоты между параллельными плоскостями.

1. Выберем параллельные плоскости, между которыми расположены оба тела, и проверим, что расстояние между ними одинаково для каждого тела. Тогда допустимые значения h задают одинаковые уровни от оснований. Это подтверждает условие об общей высоте.

2. Возьмём произвольное допустимое значение h. По условию площади сечений на этом уровне равны. Так как выбор h был произвольным, равенство выполняется для всех соответствующих сечений, а не только для одного уровня.

3. Теперь выполнены все условия принципа Кавальери: тела имеют одинаковую высоту, а площади сечений на каждом одинаковом уровне совпадают. Поэтому их объёмы равны. Именно этот переход от произвольного сечения к равенству объёмов и составляет доказательство.

Ответ: тела равновелики по принципу Кавальери.

Типичные ошибки

Считать тела равновеликими только из-за одинаковой высоты — ошибка: разные тела могут быть шире или уже, а значит, их объёмы могут различаться. Так рассуждают, принимая вертикальный размер за достаточную характеристику всего тела. Проверь себя: сравни площади соответствующих сечений на всех уровнях, а не только расстояние между основаниями.

Нельзя сравнивать сечения, взятые на разных расстояниях от оснований. Площади сечений могут меняться с высотой, поэтому такое сопоставление сравнивает разные слои. Ошибка часто возникает, если ориентироваться только на удобство выбора сечения. Для проверки отметь один и тот же уровень на обоих телах и сравни именно эти фигуры.

Равенство площадей оснований само по себе не доказывает равновеликость. Основания дают информацию лишь об одном уровне, а выше площади сечений могут изменяться по-разному. Это условие ошибочно принимают за достаточное, потому что основания легко увидеть и измерить. Проверь, установлено ли равенство сечений на всей высоте; если нет, принцип Кавальери пока неприменим.

Равновеликость не следует путать с равенством тел. Одинаковый объём не означает одинаковую форму, размеры отдельных элементов или возможность совместить тела движением. Такая путаница возникает из-за слова «равные», хотя здесь сравниваются именно объёмы. Проверь, что в заключении говорится о равенстве объёмов, а не о совпадении самих тел.

Связь с другими темами

Для работы с принципом Кавальери нужны понятия объёма тела, площади фигуры, сечения и параллельных плоскостей. Площадь характеризует каждый плоский слой, а объём — всё тело, составленное из таких слоёв. Умение проводить и описывать сечения помогает перейти от пространственной задачи к сравнению фигур на плоскости.

Принцип Кавальери используют, когда обосновывают и сравнивают формулы объёмов призм, цилиндров, пирамид, конусов и других тел. Если на одинаковой высоте сечения двух тел имеют равные площади, можно сравнить их объёмы без непосредственного вычисления каждого из них. Поэтому принцип связывает свойства сечений с формулами объёмов.

Что запомнить

• Равновеликие тела имеют равные объёмы.
• Равновеликость не требует совпадения формы тел.
• Для применения принципа Кавальери тела должны иметь одинаковую высоту.
• Сравнивают площади сечений, параллельных основаниям и взятых на одинаковой высоте.
• Равенство площадей всех соответствующих сечений позволяет заключить, что объёмы равны.