"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Объём показывает, какую часть пространства занимает многогранник, и помогает сравнивать тела, рассчитывать вместимость или количество материала. Его находят по единичным кубам, а вычисления опираются на свойства объёма: равные тела имеют равные объёмы, а объём целого равен сумме объёмов неперекрывающихся частей. Для призмы используют произведение площади основания на высоту, для пирамиды — треть этого произведения. Высотой считают перпендикулярное расстояние, а результат записывают в кубических единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём многогранника — величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом. Равные тела имеют одинаковые объёмы, а объём тела, разбитого на части, равен сумме объёмов этих частей. Эти свойства позволяют сравнивать тела и находить объём сложного многогранника по его частям.
Единица объёма — объём куба, ребро которого равно единице длины. Если длину измеряют в сантиметрах, единичным кубом будет куб с ребром 1 см. Поскольку в кубе учитываются длина, ширина и высота, единицы объёма получаются в третьей степени: например, см³.
Объём призмы — произведение площади её основания на высоту: V = Sоснh. Здесь Sосн — площадь основания, а h — высота, то есть перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Формула нужна, чтобы находить объём призмы независимо от формы её основания.
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓Sоснh. В этой формуле Sосн обозначает площадь основания, а h — перпендикулярное расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания. Множитель ⅓ отличает формулу пирамиды от формулы призмы с таким же основанием и высотой.
Чтобы измерить объём, мысленно сравнивают тело с кубиками одинакового размера. Сначала считают, сколько таких кубиков помещается в одном слое, затем — сколько слоёв укладывается по высоте. Поэтому объём зависит сразу от трёх измерений, а не только от площади одной грани. Если ребро кубика равно 1 см, каждый кубик занимает 1 см³, и объём выражается в кубических сантиметрах.
Прямоугольный параллелепипед можно заполнить одинаковыми кубами: число кубов в слое определяется двумя измерениями, а число слоёв — третьим. Поэтому его объём равен произведению длины, ширины и высоты: V = abc. У прямой призмы основание может быть любым многоугольником, но каждый слой имеет одну и ту же площадь Sосн. Умножая эту площадь на высоту призмы, получаем V = Sоснh.
Наклонная призма устроена иначе: её боковые рёбра наклонены к основаниям, поэтому их длина не является высотой. Однако объём определяется не наклоном боковых рёбер, а площадью основания и расстоянием между параллельными плоскостями оснований. При одинаковых основаниях и таком расстоянии прямая и наклонная призмы занимают одинаковый объём. Поэтому для обеих подходит формула V = Sоснh.
Пирамида с заданными основанием и высотой занимает треть объёма призмы, имеющей то же основание и ту же высоту. Это соотношение можно обосновать разбиением призмы на три пирамиды равного объёма. Значит, объём пирамиды равен произведению Sоснh, разделённому на три. Перед подстановкой важно найти именно перпендикулярную высоту, иначе сравнение с соответствующей призмой не будет верным.
У составного многогранника обычно нет одной простой формулы, зато его можно разделить на призмы, пирамиды или другие тела с известными объёмами. Если части не перекрываются, объём целого равен сумме объёмов всех частей. Иногда удобнее сначала рассчитать объём простого исходного тела, а затем вычесть объём вырезанной области. Такой способ работает, если размеры вырезанной части известны и её объём посчитан в тех же единицах.
| Многогранник | Площадь основания | Высота | Формула объёма |
|---|---|---|---|
| Призма | Sосн | h — расстояние между плоскостями оснований | V = Sоснh |
| Пирамида | Sосн | h — перпендикуляр от вершины до плоскости основания | V = ⅓Sоснh |
| Прямоугольный параллелепипед | ab | c — третье измерение | V = abc |
Сначала выберите строку, соответствующую телу, и убедитесь, что известны нужные величины. Для параллелепипеда можно перемножить три измерения, а для призмы и пирамиды сначала находят площадь основания. Все длины должны быть выражены в согласованных единицах, чтобы результат получился в правильных кубических единицах.
Задача 1. Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см, высота призмы равна 8 см. Найдём объём. Поскольку основание прямоугольное, сначала удобно вычислить его площадь, затем применить формулу призмы.
Ответ: 120 см³. Кубическая единица получается из умножения площади основания в см² на высоту в см.
Задача 2. Основание пирамиды имеет площадь 24 см², а высота пирамиды равна 9 см. Требуется найти объём. Площадь основания и высота уже даны, поэтому остаётся воспользоваться формулой пирамиды и учесть, что она составляет треть объёма призмы с такими же основанием и высотой.
Ответ: 72 см³. Если забыть множитель ⅓, получится объём соответствующей призмы, а не пирамиды.
Задача 3. Из прямоугольного параллелепипеда размером 8 см × 6 см × 5 см вырезали параллелепипед размером 2 см × 3 см × 5 см. Найдём объём оставшейся части. Поскольку вырезанное тело целиком убирают из исходного, нужно не складывать объёмы, а вычесть объём выреза.
Ответ: 210 см³. Оба объёма вычислены в одинаковых единицах, поэтому их можно вычитать.
Нельзя автоматически считать высотой призмы или пирамиды длину бокового ребра. В наклонной призме ребро наклонено к основанию, а у пирамиды боковое ребро соединяет вершину с вершиной основания; ни то ни другое обычно не задаёт перпендикулярную высоту. Ошибку допускают, ориентируясь на самое заметное ребро на чертеже. Проверьте, что выбранный отрезок образует прямой угол с плоскостью основания.
Если в формуле объёма пирамиды нет множителя ⅓, получится завышенный результат. Его легко забыть, потому что формулы пирамиды и призмы отличаются только этим множителем. Сравните пирамиду с призмой, у которых совпадают основание и высота: объём пирамиды должен составлять треть объёма призмы. Это сравнение служит быстрой проверкой вычисления.
Запись объёма в квадратных единицах неверна: квадратные единицы относятся к площади. В вычислении объёма перемножаются три измерения, поэтому, например, см² · см = см³. Ошибка часто появляется, когда единицу измерения не записывают в промежуточных действиях. Проверьте степень единицы в ответе: для объёма она должна быть третьей.
Складывать объёмы частей можно только тогда, когда части не перекрываются. Если тела пересекаются, простое сложение посчитает общую область дважды; если вырезана часть, её объём нужно вычесть, а не прибавить. Ошибка возникает, когда не разобрано, как именно устроено составное тело. Перед вычислением обозначьте части и проверьте, соединены ли они без наложения или одна из них удалена.
Для вычисления объёма нужны навыки нахождения площадей многоугольников: именно площадь основания входит в формулы призмы и пирамиды. Также важно распознавать основание и перпендикулярную высоту многогранника, а при переводе единиц длины учитывать, что для объёма единицы возводятся в куб. Эти умения связывают планиметрию с задачами стереометрии.
Формулы объёмов применяются при решении задач о многогранниках, а также в практических расчётах вместимости и количества материала. Например, по размерам ёмкости можно оценить, сколько жидкости она вмещает, а по объёму детали — сколько материала потребуется для её изготовления. В таких задачах особенно важно согласовать единицы измерения.
Почему объём измеряется в кубических, а не квадратных единицах?
Единицей объёма служит куб, ребро которого равно единице длины. При подсчёте таких кубов учитываются три измерения тела, поэтому единица длины возводится в третью степень: например, см³.
Как отличить высоту призмы от её бокового ребра?
Высота призмы — это перпендикулярное расстояние между плоскостями её оснований. У прямой призмы она совпадает с боковым ребром, а у наклонной обычно не совпадает.
Почему в формуле объёма пирамиды появляется множитель одна треть?
Пирамида с теми же площадью основания и высотой занимает треть объёма призмы. Поэтому к произведению площади основания на высоту добавляют множитель ⅓.
Можно ли использовать формулу объёма призмы для наклонной призмы?
Да, формула V = Sоснh применима и к наклонной призме. В ней h — расстояние между плоскостями оснований, а не длина наклонного бокового ребра.
Как вычислить объём многогранника, составленного из нескольких тел?
Разбейте тело на неперекрывающиеся части, найдите объём каждой и сложите результаты. Если часть вырезана, вычтите её объём из объёма исходного тела.
5.6. Вычисление объёмов многогранников
