"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Объём показывает, сколько места занимает тело, и измеряется в кубических единицах. Свойства объёма помогают находить его не только у простых фигур, но и у сложных тел: их можно разделить на части, дополнить до известного тела или сравнить с другим телом по сечениям. Главное — следить, чтобы части не перекрывались, а условия сравнения выполнялись на всех уровнях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, показывающая, сколько единичных кубов содержится в теле. Единичный куб имеет рёбра длиной в одну выбранную единицу, например один сантиметр. Поэтому объём записывают в кубических единицах: см³, м³ и других; это позволяет сравнивать, сколько пространства занимают разные тела.
Аддитивность объёма означает, что объём тела, составленного из непересекающихся частей, равен сумме объёмов этих частей. «Непересекающиеся» здесь значит, что части не занимают одну и ту же внутреннюю область. Свойство удобно, когда сложное тело можно разрезать на фигуры, объёмы которых уже умеем находить.
Равновеликие тела — тела, имеющие равные объёмы, хотя их форма может различаться. Например, широкое низкое тело и узкое высокое могут занимать одинаковое пространство. Это понятие помогает сравнить тела, не требуя, чтобы они совпадали или выглядели одинаково.
Принцип Кавальери утверждает: если тела заключены между двумя параллельными плоскостями, имеют равные высоты и площади их сечений на каждом уровне равны, то объёмы тел равны. Сечениями называют плоские фигуры, полученные пересечением тела плоскостями, параллельными ограничивающим. Принцип нужен для сравнения объёмов тел сложной формы.
Объём можно представить как число кубиков, полностью заполняющих тело без промежутков и наложений. Для тел с кривыми границами такое заполнение не всегда удаётся выполнить буквально одинаковыми кубиками, но идея сохраняется: объём измеряет занимаемое пространство. Если перейти, например, от кубического сантиметра к кубическому миллиметру, единица станет меньше и численное значение объёма увеличится. Поэтому единицы в задаче нужно согласовать до вычислений.
Аддитивность следует из того, что непересекающиеся части вместе занимают ровно тот же объём, что и исходное тело. Ни одно место не пропадает и не считается дважды, поэтому объёмы частей складывают. Так можно вычислить объём фигуры, составленной из нескольких призм или параллелепипедов, если известны размеры каждой части. Перед сложением проверьте, что части действительно не перекрываются.
Равные объёмы не требуют одинаковой формы: значение показывает количество пространства, а не очертания тела. Например, тело можно вытянуть вверх и одновременно сделать уже, сохранив тот же объём. Это наблюдение полезно, если прямой подсчёт сложен, но тело можно сопоставить с другим, объём которого известен. Равенство объёмов тогда доказывают свойствами, а не внешним сходством.
В принципе Кавальери сравнивают сечения на всех уровнях между двумя параллельными плоскостями, а не только основания. Равенство оснований говорит лишь о совпадении площадей на двух граничных уровнях, но внутри тела сечения могут иметь другие размеры. Если же высоты равны и соответствующие сечения везде имеют одинаковые площади, тела на каждом уровне занимают одинаковую площадь. Из этого следует равенство их объёмов.
Способ решения выбирают по устройству тела и данным задачи. Если тело состоит из известных фигур, его разбивают и складывают объёмы; если оно похоже на часть простого тела, его можно дополнить и вычесть лишнее. Когда формы сложные, но доступны сведения о сечениях, применяют принцип Кавальери. Полезно сначала сделать схему разбиения или отметить, какие именно сечения предстоит сравнить.
| Свойство или приём | Что требуется | Как использовать в задаче |
|---|---|---|
| Аддитивность объёма | Тело разделено на непересекающиеся части | Найти объёмы частей и сложить их |
| Равенство объёмов тел | Есть основание считать тела равновеликими | Перенести известное значение объёма на другое тело |
| Принцип Кавальери | Равные высоты и равные площади сечений на каждом уровне | Заключить, что объёмы тел равны |
| Разбиение или дополнение тела | Сложное тело можно представить через простые тела | Сложить части или вычесть объём дополнения |
Сначала найдите в задаче подходящее свойство и проверьте, выполнены ли его условия. Затем выпишите известные объёмы или площади сечений и выполните нужное действие. Таблица помогает выбрать приём, но не заменяет проверку того, как именно устроено тело.
Прямоугольный параллелепипед разделён плоскостью на две части. Объёмы частей равны 24 см³ и 36 см³. Нужно найти объём всего параллелепипеда. Поскольку части составляют целое тело и не перекрываются, применима аддитивность.
Ответ: 60 см³.
Тело составлено из прямой треугольной призмы объёмом 48 см³ и прямоугольного параллелепипеда объёмом 72 см³. Эти фигуры не перекрываются, поэтому внутренние области не посчитаются дважды. Требуется найти объём всего составного тела.
Ответ: 120 см³.
Два тела заключены между одной парой параллельных плоскостей. На каждом уровне сечения, параллельные этим плоскостям, имеют равные площади. Объём первого тела равен 125 см³. Нужно определить объём второго тела; его форма может отличаться от формы первого.
Ответ: 125 см³.
Складывать объёмы частей, которые перекрываются, нельзя: общая область будет учтена дважды. Эту ошибку допускают, когда смотрят только на список частей и не проверяют их взаимное расположение. Перед сложением выясните, покрывают ли части тело без наложений; при перекрытии общий объём нужно учесть отдельно.
Применять принцип Кавальери, сравнив только основания, недостаточно. Площади оснований могут совпадать, а сечения внутри тел — различаться, поэтому объёмы не обязаны быть равными. Проверяйте соответствующие сечения на всех уровнях между плоскостями, а не только у границ.
Равные высоты сами по себе также не означают равенства объёмов. Тело с большей площадью сечений может занимать больше места при той же высоте, поэтому важно учитывать не только вертикальный размер. Для вывода о равенстве объёмов проверьте все условия принципа Кавальери или используйте другой способ.
Смешивать единицы измерения или записывать объём не в кубических единицах — ещё одна частая ошибка. Она возникает, когда длины выражены, например, в сантиметрах, а результат без проверки записан в метрах либо в квадратных единицах. Перед вычислением приведите данные к согласованным единицам и проверьте, что в ответе стоят см³, м³ или другие единицы объёма.
Для применения этих свойств нужно знать формулы объёмов изученных тел, свойства сечений и способы находить площади плоских фигур. Например, чтобы сравнить сечения по принципу Кавальери, сначала приходится определить их формы и вычислить площади. Значит, геометрия плоских фигур помогает решать задачи о телах.
Разбиение, дополнение и сравнение сечений пригодятся при вычислении объёмов составных тел, которые нельзя сразу узнать по одной формуле. Эти приёмы также позволяют доказывать равенство объёмов тел сложной формы без прямого вычисления каждого объёма. Выбор зависит от того, какие сведения о теле даны в условии.
Можно ли складывать объёмы любых частей составного тела?
Можно, если части вместе составляют всё тело и не перекрываются внутренними областями. При перекрытии общая часть будет учтена дважды, поэтому её объём нужно вычесть.
Обязательно ли равновеликие тела должны иметь одинаковую форму?
Нет. Равновеликими называют тела с одинаковыми объёмами, даже если они выглядят по-разному. Например, одно тело может быть широким и низким, а другое — узким и высоким.
Достаточно ли для принципа Кавальери сравнить площади оснований?
Нет, равенства площадей оснований недостаточно. Нужно, чтобы площади сечений обоих тел были равны на каждом уровне между ограничивающими параллельными плоскостями.
Можно ли применить принцип Кавальери к телам разной высоты?
В формулировке принципа Кавальери сравниваемые тела должны иметь равные высоты между одной парой параллельных плоскостей. Если высоты различаются, сначала нужно привести тела к одинаковой высоте или выбрать другой способ сравнения.
Как выбрать между разбиением тела и применением принципа Кавальери?
Разбиение удобно, когда тело явно составлено из простых частей с известными объёмами; иногда проще дополнить его до знакомого тела. Принцип Кавальери подходит, когда можно установить равенство площадей сечений на всех уровнях, хотя сами тела устроены по-разному.
5.7*. Использование свойств объёма при решении задач
