6. Объёмы и поверхности круглых тел

Определения и обозначения

Цилиндр — круглое тело с двумя равными параллельными основаниями. Радиус основания r задаёт размер кругов, а высота h — расстояние между их плоскостями. Эти величины нужны, чтобы вычислять вместимость цилиндра и площади его поверхности.

Конус — тело с круглым основанием, образующие которого сходятся в одной вершине. Образующая соединяет вершину с точкой окружности основания, а высота h опускается из вершины перпендикулярно плоскости основания. Радиус основания и высота определяют объём, а длина образующей понадобится для площади боковой поверхности.

Сфера — поверхность, состоящая из точек, равноудалённых от одной точки — центра. Расстояние от центра до любой точки сферы называют радиусом r. Сферу рассматривают, когда требуется найти площадь внешней поверхности.

Шар — тело, ограниченное сферой: в него входят и поверхность, и все точки внутри неё. Поэтому площадь относится к сфере, а объём — к шару. Такое различие помогает правильно выбрать, какую величину вычислять в задаче.

Как это устроено

Чтобы найти объём цилиндра, его сравнивают с прямой призмой, у которой такое же основание и высота. В любом горизонтальном сечении обеих фигур площадь одинакова, поэтому цилиндр заполняет такой же объём, как призма. Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту, значит V = Sоснh = πr²h. Радиус сначала позволяет найти площадь круга основания, а затем её умножают на высоту.

У конуса объём составляет треть произведения площади основания на высоту: V = ⅓Sоснh = ⅓πr²h. Такое соотношение известно и для пирамиды: её объём втрое меньше объёма призмы с теми же основанием и высотой. Обобщить сравнение помогает принцип Кавальери: если тела одинаковой высоты и площади их сечений на каждом уровне равны, то равны и объёмы. Сечения конуса и пирамиды при сравнении уменьшаются к вершине одинаковым образом, что объясняет общий множитель ⅓.

Боковую поверхность цилиндра мысленно разрезают вдоль образующей и разворачивают на плоскость. Получается прямоугольник: одна его сторона равна высоте h, а другая — длине окружности основания 2πr. Площадь прямоугольника равна произведению сторон, поэтому Sбок = 2πrh. Прибавив два круга-основания, получают полную площадь Sполн = 2πrh + 2πr².

Развёртка боковой поверхности конуса — сектор круга радиуса l, где l обозначает образующую. Длина дуги сектора равна длине окружности основания 2πr, поэтому площадь сектора равна πrl. К ней для полной поверхности прибавляют площадь основания: Sполн = πrl + πr². Высота конуса не заменяет образующую: это разные отрезки, а развёртка зависит от наклонной стороны.

Формулы шара и сферы выражаются через один радиус: объём шара V = ⁴⁄₃πr³, площадь сферы S = 4πr². Куб радиуса в формуле объёма означает, что увеличение r в несколько раз меняет вместимость в куб этого числа раз. Площадь зависит от квадрата радиуса, поэтому при таком же увеличении она меняется в квадрат числа раз. Это различие полезно учитывать при масштабировании моделей и сравнении тел.

Основные формулы для цилиндра, конуса и шара

Сначала определите, какую именно величину спрашивают: объём, боковую или полную площадь. Затем найдите нужные размеры и выберите формулу из соответствующей строки. Для конуса особенно важно не путать высоту с образующей.

Разбор задач

Объём цилиндра

Найти объём цилиндра с радиусом основания 3 см и высотой 5 см. Объём показывает, сколько кубических сантиметров помещается внутри тела. Для цилиндра нужно возвести радиус в квадрат, умножить на π и затем на высоту.

1. Записываем формулу: V = πr²h.
2. Подставляем r = 3 см и h = 5 см: V = π · 3² · 5.
3. Сначала вычисляем площадь основания: π · 9 = 9π см². Затем умножаем её на высоту: V = 45π см³.

Ответ: 45π см³, или приблизительно 141,4 см³. Кубические сантиметры подходят, потому что объём измеряет пространство внутри тела. Не следует подставлять вместо радиуса диаметр: диаметр в этой задаче был бы равен 6 см.

Полная площадь конуса

Найти полную площадь поверхности конуса с радиусом основания 4 см и образующей 7 см. Полная площадь состоит из боковой поверхности и основания. Данное число 7 см — именно образующая, поэтому оно прямо входит в формулу боковой площади.

1. Записываем формулы: Sбок = πrl, Sосн = πr², Sполн = Sбок + Sосн.
2. Подставляем r = 4 см и l = 7 см: Sбок = π · 4 · 7 = 28π см².
3. Находим основание: Sосн = π · 4² = 16π см². Складываем площади: Sполн = 28π + 16π = 44π см².

Ответ: 44π см², или приблизительно 138,2 см². Высоту конуса здесь не подставляют вместо образующей: эти длины не совпадают. Если бы была дана только высота, для боковой площади сначала потребовалось бы найти образующую.

Переплавка шаров

Шар радиуса 6 см переплавили в несколько одинаковых шаров радиуса 2 см. Нужно найти число маленьких шаров. При переплавке без потерь сохраняется объём материала, поэтому объём большого шара равен сумме объёмов маленьких. Поскольку все шары имеют одинаковую форму, можно сравнить кубы радиусов.

1. Обозначим число маленьких шаров через n и приравняем объёмы: ⁴⁄₃π · 6³ = n · ⁴⁄₃π · 2³.
2. Сокращаем одинаковые множители ⁴⁄₃π: 6³ = n · 2³.
3. Находим n = 6³ / 2³ = (6 / 2)³ = 3³ = 27.

Ответ: получится 27 маленьких шаров. Проверка по масштабу подтверждает результат: радиус уменьшился втрое, значит каждый маленький шар имеет в 27 раз меньший объём. Чтобы сохранить общий объём, таких шаров понадобится 27.

Типичные ошибки

Путают сферу и шар, потому что в разговорной речи эти слова иногда используют как близкие. Но сфера — только внешняя поверхность, а шар включает ещё и внутреннюю область. Перед решением проверьте, спрашивают ли площадь поверхности или объём тела: площадь сферы считают по формуле 4πr², объём шара — по формуле ⁴⁄₃πr³.

В формулу боковой поверхности конуса иногда подставляют высоту вместо образующей. Так происходит потому, что высота тоже проведена от вершины, но она перпендикулярна основанию, а развёртку образует наклонная сторона конуса. Проверка: в формуле Sбок = πrl должна стоять длина образующей l; если известна только высота, сначала найдите l.

При вычислении полной поверхности забывают прибавить основание или одно из оснований. Ошибка возникает, когда формулу боковой площади принимают за формулу всей поверхности. Сверьте ответ с составом тела: у цилиндра два круга, у конуса — один, поэтому Sполн цилиндра = Sбок + 2πr², а конуса = Sбок + πr².

Изменение объёма шара считают пропорциональным изменению радиуса, хотя в формуле стоит r³. Такое заблуждение появляется, если не заметить степень при радиусе. Для проверки возведите коэффициент изменения радиуса в куб: например, увеличение радиуса вдвое даёт увеличение объёма в 2³ = 8 раз.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны знакомые формулы площади круга S = πr² и длины окружности C = 2πr. Также следует различать радиус, высоту и образующую: они обозначают разные размеры тела и входят в разные формулы. Эти знания связывают планиметрию с вычислениями в пространстве.

Формулы применяют, когда рассчитывают вместимость ёмкости, объём жидкости или количество материала для изготовления предмета. Чтобы найти вместимость, обычно нужен объём, а для оценки покрытия или расхода листового материала — площадь поверхности. В прикладной задаче важно проверить единицы измерения и понять, учитываются ли все основания.

Что запомнить

• Объём цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту.
• Объём конуса составляет треть произведения площади основания на высоту.
• Объём шара равен четырём третьим произведения числа π на куб радиуса.
• Площадь сферы равна четырём произведениям числа π на квадрат радиуса.
• Полная поверхность включает боковую поверхность и площади всех оснований.
• В формуле боковой поверхности конуса используют образующую.