"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Цилиндр и конус — тела, для которых объём можно вычислить по площади круглого основания и высоте. Эти формулы помогают оценивать, сколько пространства занимает тело или сколько жидкости вместит ёмкость такой формы. Объём цилиндра равен πr²h, а объём конуса с теми же основанием и высотой — втрое меньше. Понимание формул и зависимости объёма от радиуса и высоты позволяет решать задачи и проверять, разумен ли полученный результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндр — тело, которое получается, если круг перемещать параллельно самому себе на некоторое расстояние. Два круга в начале и конце перемещения называют основаниями, а соединяющую их боковую поверхность — боковой поверхностью цилиндра. Прямая через центры оснований — ось, расстояние между плоскостями оснований — высота h, радиус основания обозначают r. Эти обозначения помогают описывать форму цилиндра и находить его объём.
Конус — тело, полученное соединением каждой точки круга с одной точкой, расположенной вне плоскости этого круга. Круг называется основанием, а точка — вершиной конуса. Высота h — перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания, радиус r — радиус круга-основания. Различение высоты и наклонных отрезков нужно, чтобы подставлять в формулу правильный размер.
Объём тела — величина, которая показывает, какую часть пространства занимает это тело. Объём измеряют в кубических единицах: например, см³ или м³; такая единица соответствует кубу с ребром в один сантиметр или метр. Значение объёма позволяет сравнивать тела по занимаемому пространству и оценивать вместимость предметов. При вычислениях важно, чтобы все длины были выражены в согласованных единицах.
Объём цилиндра связан с объёмом призмы: для призмы он равен площади основания, умноженной на высоту. Круг можно приближать многоугольником, вписанным в него, а цилиндр — соответствующей призмой с таким основанием. Чем больше сторон у многоугольника, тем точнее его форма приближается к кругу, а призма — к цилиндру. Поэтому правило для призмы приводит к правилу для цилиндра: объём равен площади круглого основания, умноженной на высоту.
Площадь круга радиуса r равна πr², а высота цилиндра равна h. Подставляя площадь основания в правило V = Sh, получаем V = πr²h. Здесь S — площадь основания: множитель h учитывает протяжённость тела между основаниями, а πr² — размер каждого основания. Если известны радиус и высота, остаётся вычислить это произведение.
Для конуса с теми же основанием и высотой объём составляет треть объёма цилиндра. Это соотношение получают сравнением объёмов тел одинаковой высоты и с одинаковым основанием: конус сужается к вершине, поэтому он заполняет меньше пространства, чем цилиндр. Точный результат такого сравнения — отношение 1:3, а не просто качественное утверждение, что конус меньше. Оно позволяет сразу находить объём конуса, когда уже известен объём подходящего цилиндра.
Если площадь основания конуса обозначить S, из сравнения с цилиндром следует V = ⅓Sh. Для круглого основания S = πr², поэтому формула принимает вид V = ⅓πr²h. Высота h здесь — перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания. Наклонная образующая измеряется по боковой поверхности и не заменяет высоту в формуле, поскольку задаёт другую длину.
В обеих формулах высота стоит в первой степени, а радиус — во второй. Поэтому при неизменном радиусе увеличение высоты в несколько раз во столько же раз увеличивает объём. Если же высоту не менять, увеличение радиуса в k раз увеличивает объём в k² раз. Например, радиус, увеличенный вдвое, даёт множитель 2² = 4; та же зависимость действует для цилиндра и конуса.
| Тело | Площадь основания | Формула объёма | Что обозначают r и h |
|---|---|---|---|
| Цилиндр | πr² | V = πr²h | r — радиус основания, h — высота цилиндра |
| Конус | πr² | V = ⅓πr²h | r — радиус основания, h — перпендикулярная высота конуса |
Сначала определите, какое тело дано, и выберите соответствующую формулу. Проверьте, что вместо r подставлен радиус, а высота задана в тех же единицах, что и остальные длины. После вычислений запишите результат в кубических единицах.
Задача 1. Найти объём цилиндра радиуса 3 см и высоты 5 см. Известны оба размера, которые входят в формулу цилиндра, поэтому достаточно подставить их значения. Так как длины указаны в сантиметрах, ответ будет выражен в см³.
Ответ: 45π см³.
Задача 2. Найти объём конуса с диаметром основания 10 см и высотой 12 см. Формула использует радиус, поэтому сначала переведём диаметр в радиус. Затем учтём, что объём конуса составляет треть произведения площади основания на высоту.
Ответ: 100π см³.
Задача 3. Цилиндр и конус имеют равные основания и высоты, объём цилиндра равен 90π см³. Нужно найти объём конуса и определить, как он изменится при удвоении высоты. Сначала используем отношение объёмов тел, а затем — зависимость объёма конуса от высоты при неизменном основании.
Ответ: объём конуса равен 30π см³, после удвоения высоты он станет 60π см³.
Вместо радиуса иногда подставляют диаметр, потому что в условии чаще называют именно его. Но в формуле стоит r², поэтому ошибка увеличивает результат в четыре раза. Перед вычислением разделите диаметр на два и проверьте, что возводите в квадрат именно радиус.
В формуле объёма конуса можно забыть множитель ⅓ и использовать формулу цилиндра. Это происходит, когда оба тела имеют круглое основание и в записи остаются одинаковые πr²h. Проверьте формулу по виду тела: для конуса обязательно деление на три, а при одинаковых основании и высоте результат должен быть втрое меньше объёма цилиндра.
Наклонную образующую конуса иногда принимают за высоту, потому что она тоже соединяет вершину с основанием. Однако образующая идёт по боковой поверхности, а высота проходит перпендикулярно плоскости основания. Уточните, какой именно размер дан в условии; если дана образующая, её нельзя без обоснования подставлять вместо высоты.
Ещё одна ошибка — записать результат в квадратных единицах, например в см². Объём получается умножением площади на длину, поэтому единицы также перемножаются: см² · см = см³. После вычисления проверьте не только число, но и единицы измерения ответа.
Для этих формул нужны площадь круга и понятия радиуса и диаметра: если дан диаметр, радиус находят делением на два. Понятие перпендикуляра помогает отличать высоту конуса от наклонной образующей. Формулы объёмов цилиндра и конуса пригодятся при изучении других тел вращения и в стереометрических задачах. Они также помогают оценивать вместимость ёмкостей цилиндрической или конической формы.
Почему объём конуса в три раза меньше объёма цилиндра с таким же основанием и высотой?
Если основания и высоты тел одинаковы, объём конуса составляет треть объёма цилиндра. Это соотношение устанавливается сравнением тел; множитель ⅓ входит в формулу объёма конуса. Поэтому для цилиндра объём равен Sh, а для конуса — ⅓Sh, где S — площадь основания.
Как найти объём, если в условии дан диаметр основания?
Сначала разделите диаметр на два: радиус r = d/2. Затем подставьте радиус в формулу объёма цилиндра или конуса. Нельзя подставлять диаметр вместо r, потому что в формуле используется квадрат радиуса.
Чем высота конуса отличается от его образующей?
Высота — перпендикулярное расстояние от вершины конуса до плоскости основания. Образующая — наклонный отрезок от вершины до точки окружности основания. В формулу объёма входит высота, а не образующая.
В каких единицах записывать объём?
Объём записывают в кубических единицах: например, в см³, м³ или дм³. Если все линейные размеры даны в сантиметрах, ответ будет в кубических сантиметрах. Квадратные единицы относятся к площади, а не к объёму.
Как изменится объём, если увеличить радиус основания вдвое?
При неизменной высоте объём увеличится в четыре раза. Радиус входит в формулу в квадрате, поэтому новый множитель равен 2² = 4. Это верно и для цилиндра, и для конуса.
6.1. Объём цилиндра и конуса
