"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Объём шара можно найти не только по готовой формуле, но и вывести через сравнение его сечений с сечениями другого тела. Принцип Кавальери утверждает: если соответствующие сечения двух тел на всех одинаковых высотах имеют равные площади, то равны и объёмы тел. Сравнение шара с цилиндром, из которого удалены два конуса, приводит к формуле V = 4⁄3πR³. Она помогает вычислять объём по радиусу и решать задачи на сравнение тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сечение тела плоскостью — это фигура, которая получается при пересечении тела с плоскостью. Площадь сечения обозначают S; например, S(x) может означать площадь сечения на расстоянии x от выбранной плоскости. Такое обозначение позволяет сравнивать не только основания тел, но и их внутренние сечения. Это нужно для применения принципа Кавальери.
Принцип Кавальери утверждает: если два тела заключены между параллельными плоскостями и площади их сечений на одинаковом расстоянии от одной из плоскостей равны, то объёмы тел равны. Речь идёт о соответствующих сечениях, проведённых параллельно этим плоскостям. Равенства только площадей оснований для вывода недостаточно. Принцип позволяет находить объём сложного тела через сравнение с более простым.
Шар — это тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до его центра не превышает заданного значения. Граница шара называется сферой, а саму сферу нельзя путать с объёмным телом внутри неё. Радиус шара обозначим R; это расстояние от центра до сферы. Радиус понадобится и в формуле объёма, и при построении тела для сравнения.
Объём шара — это объём тела, ограниченного сферой. Он измеряет, сколько пространства занимает шар, и выражается в кубических единицах: например, см³ или м³. Для вычисления объёма используют радиус R, а не диаметр. Формулу объёма можно обосновать, сравнив сечения шара с сечениями подходящего составного тела.
Чтобы сравнить объёмы по принципу Кавальери, сначала помещают тела между двумя общими параллельными плоскостями. Затем рассматривают сечения, проведённые плоскостями, параллельными этим границам, на одинаковом расстоянии от одной и той же плоскости. Если площади таких сечений совпадают на всей высоте, тела одинаково «широки» на каждом уровне. Поэтому в них содержится одинаковый объём, даже если внешне они устроены по-разному.
Для шара радиуса R удобно взять цилиндр с таким же радиусом основания и высотой 2R: шар как раз помещается между основаниями цилиндра. Из цилиндра мысленно удалим два конуса с общей вершиной в центре цилиндра. Основание каждого конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, его высота равна R, а радиус основания — R. Такое построение удобно, потому что площади сечений оставшейся части можно выразить через те же R и x, что и площади сечений шара.
Проведём через шар плоскость на расстоянии x от его центра, где −R ≤ x ≤ R. Радиус круглого сечения обозначим r; он вместе с расстоянием x и радиусом шара R образует прямоугольный треугольник, поэтому r² + x² = R². Площадь сечения шара равна πr² = π(R² − x²). В составном теле сечение цилиндра имеет площадь πR², а удаляемый конус на этом уровне даёт круг площадью πx²; значит, оставшаяся площадь равна πR² − πx².
Полученные выражения совпадают: π(R² − x²) = πR² − πx². Это верно для каждой плоскости, параллельной основаниям и проходящей на той же высоте, что и соответствующее сечение шара. Шар и составное тело заключены между одной парой плоскостей, а площади всех соответствующих сечений равны. Значит, по принципу Кавальери их объёмы одинаковы.
Остаётся найти объём цилиндра и вычесть объёмы двух конусов. Объём цилиндра равен πR² · 2R = 2πR³; объём одного конуса — ⅓πR² · R = ⅓πR³. Поэтому объём оставшейся части, а значит, и шара равен 2πR³ − 2 · ⅓πR³ = ⁴⁄₃πR³. Получаем формулу V = ⁴⁄₃πR³.
В таблице x — расстояние от центра шара или цилиндра до плоскости сечения, причём 0 ≤ x ≤ R. Для двух конусов указана площадь круга, который удаляется из сечения цилиндра на данном уровне; конусы вместе занимают разные половины цилиндра. В строке составного тела уже учтено вычитание этой площади из сечения цилиндра.
| Тело | Площадь сечения на расстоянии x от центра | Объём |
|---|---|---|
| Шар радиуса R | π(R² − x²) | ⁴⁄₃πR³ |
| Цилиндр радиуса R и высоты 2R | πR² | 2πR³ |
| Два конуса с общей вершиной в центре цилиндра | πx² | ⅔πR³ |
| Цилиндр за вычетом двух конусов | πR² − πx² | ⁴⁄₃πR³ |
Для проверки принципа Кавальери сравните выражения во втором столбце для шара и составного тела: они равны при любом допустимом x. Для проверки формулы объёма используйте третий столбец: объём составного тела равен объёму цилиндра за вычетом объёмов двух конусов.
Радиус уже дан, поэтому сначала выбирать половину диаметра не требуется. Подставим R = 3 см в формулу объёма шара. Куб единицы длины даст кубические сантиметры, как и требуется для объёма.
Ответ: 36π см³, или примерно 113,1 см³. Точное значение оставляют с π, если в условии не просят приближённый ответ. Кубические сантиметры указывают, что найден именно объём.
Формула содержит радиус, но дан диаметр. Радиус — половина диаметра, поэтому R = 10 : 2 = 5 см. После этого можно подставить найденное значение и возвести его в третью степень.
Ответ: 500⁄3π см³, или примерно 523,6 см³. Сначала мы перешли от диаметра к радиусу, потому что в формуле используется именно R. Проверка: если бы подставили диаметр 10 см, результат оказался бы в восемь раз больше правильного.
Радиусы у шара и цилиндра одинаковы, а высота цилиндра равна его диаметру. Найдём оба объёма и разделим объём шара на объём цилиндра. Такое отношение показывает, какую часть пространства цилиндра занимает шар.
Ответ: объём шара составляет ⅔ объёма цилиндра. Отношение не зависит от радиуса, потому что πR³ сокращается. Это также согласуется с построением для принципа Кавальери: два удаляемых конуса вместе имеют объём, равный одной трети объёма цилиндра.
В формулу объёма шара иногда подставляют диаметр вместо радиуса. Так происходит потому, что в условии часто сразу дают диаметр и хочется подставить указанное число. Но радиус вдвое меньше диаметра, а возведение в куб увеличивает ошибку в восемь раз. Перед вычислением проверьте, что используемая величина — расстояние от центра до поверхности шара.
Некоторые считают, что для принципа Кавальери достаточно равенства площадей оснований. Основания — лишь два крайних сечения, а внутри тела площади могут меняться неодинаково. В таком случае объёмы не обязаны совпадать. Проверьте, что площади равны на каждой высоте, а не только у границ.
Ошибка возникает и тогда, когда сравнивают сечения на разных высотах или выбирают тела, ограниченные разными плоскостями. Площади могут случайно совпасть, но это не соответствующие сечения, поэтому принцип Кавальери применить нельзя. Убедитесь, что обе плоскости сечения параллельны общей паре границ и находятся на одинаковом расстоянии от одной и той же границы.
При вычитании объёмов конусов можно принять высоту каждого за 2R или забыть, что конусов два. Их общая вершина находится в центре цилиндра, а основания лежат на его концах, поэтому высота каждого конуса равна R. Проверьте вычисление: два конуса имеют суммарный объём ⅔πR³, а не ⅓πR³ и не 4⁄3πR³.
Для вывода формулы объёма шара нужны формулы площади круга, объёма цилиндра и объёма конуса. Также необходимо понимать, что сечение — это фигура, возникающая при пересечении тела с плоскостью: именно её площадь сравнивают на разных высотах. Если эти понятия знакомы, переход от равенства площадей сечений к формуле объёма становится последовательным.
Принцип Кавальери полезен не только для шара: с его помощью обосновывают формулы объёмов других тел и сравнивают объёмы фигур, сечения которых удобно вычислять. В задачах важно правильно выбрать тела и установить соответствие между их сечениями. Тогда сложный объём можно связать с объёмами известных тел.
Что утверждает принцип Кавальери?
Если два тела заключены между одной парой параллельных плоскостей, а площади их сечений плоскостями, параллельными этим плоскостям, равны на каждой одинаковой высоте, то объёмы тел равны. Сравнивать нужно все соответствующие сечения, а не только основания.
Почему равенства площадей оснований недостаточно для применения принципа Кавальери?
Основания показывают площади сечений лишь на границах тела. Между ними сечения могут иметь разные площади, поэтому тела могут содержать разное количество пространства и иметь разные объёмы.
С каким телом сравнивают шар при выводе формулы его объёма?
Шар радиуса R сравнивают с цилиндром такого же радиуса и высоты 2R. Из цилиндра мысленно удаляют два конуса с общей вершиной в центре цилиндра.
Как получить формулу объёма шара из объёмов цилиндра и конусов?
Объём шара равен объёму цилиндра за вычетом объёмов двух конусов. Цилиндр имеет объём 2πR³, а каждый конус — ⅓πR³, поэтому получается V = 2πR³ − 2 · ⅓πR³ = 4⁄3πR³.
Как найти объём шара, если известен его диаметр?
Сначала разделите диаметр пополам: радиус равен половине диаметра. Затем подставьте радиус в формулу V = 4⁄3πR³ и запишите ответ в кубических единицах.
6.2. Принцип Кавальери и объём шара
