"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Цилиндр, конус и сфера встречаются в деталях, упаковке и предметах вокруг нас, а их площади помогают рассчитать, сколько материала нужно для поверхности. Боковую поверхность цилиндра находят по развёртке-прямоугольнику, конуса — по развёртке-сектору, а для сферы используют формулу 4πR². Чтобы получить полную площадь, к боковой части прибавляют площадь оснований. Главное — различать радиус, высоту и образующую и правильно выбирать, какие части поверхности нужно учитывать.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндрическая поверхность образуется, когда прямая, оставаясь параллельной заданной прямой, движется вдоль замкнутой линии — направляющей. Если направляющая является окружностью, получается поверхность прямого кругового цилиндра. Это описание помогает представить боковую часть как поверхность, обёрнутую вокруг основания.
Боковая поверхность цилиндра — его изогнутая часть, соединяющая границы двух оснований; полная поверхность состоит из боковой части и обоих оснований. В формулах r обозначает радиус основания, h — высоту, то есть расстояние между плоскостями оснований. Такое различение нужно, чтобы не забыть основания, когда требуется найти всю поверхность тела.
Коническая поверхность получается при движении прямой, проходящей через фиксированную точку, вдоль направляющей. Если направляющая — окружность, ограниченная часть такой поверхности вместе с кругом-основанием образует конус. Фиксированная точка становится вершиной, а наклонный отрезок от вершины до окружности основания называется образующей l.
Сфера — множество точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Это расстояние обозначают R и называют радиусом сферы, а площадь её поверхности обычно обозначают S. Эти обозначения позволяют записать формулу площади сферы через единственную величину — радиус.
Если разрезать боковую поверхность прямого кругового цилиндра вдоль прямой, параллельной его оси, и распрямить её, получится прямоугольник. Его высота совпадает с высотой цилиндра h, потому что образующие перпендикулярны основаниям и имеют эту длину. Ширина равна длине окружности основания 2πr: при оборачивании прямоугольника эта сторона как раз проходит один полный круг. Поэтому площадь боковой поверхности равна произведению сторон: Sбок = 2πrh.
Полная поверхность цилиндра включает не только прямоугольную боковую часть, но и два одинаковых круга. Площадь каждого основания равна πr², значит, вместе основания дают 2πr². Прибавляя эту сумму к боковой площади, получаем Sполн = 2πrh + 2πr². Такая запись отражает состав поверхности, поэтому по ней удобно проверить, учтены ли все части тела.
Боковую поверхность прямого кругового конуса можно разрезать по образующей и расправить в плоскую фигуру. Получится сектор круга: все его точки боковой части находятся от вершины на расстоянии образующей l, поэтому радиус сектора равен l. Длина дуги сектора совпадает с окружностью основания конуса, то есть равна 2πr. Эта связь позволяет найти площадь сектора, даже если угол развёртки неизвестен.
Площадь сектора составляет такую же долю от площади круга радиуса l, какую его дуга составляет от длины полной окружности радиуса l. Длина полной окружности равна 2πl, а дуги сектора — 2πr, поэтому доля равна r/l. Умножаем её на площадь круга πl² и получаем Sбок = πrl. К боковой площади для полной поверхности нужно добавить один круг-основание: Sполн = πrl + πr².
Площадь сферы равна S = 4πR². Этот результат можно обосновать приближением сферы многогранниками: чем мельче их грани, тем точнее сумма площадей граней приближает площадь сферы. Другой путь — сравнить сферу с описанным цилиндром, высота которого равна 2R, а радиус основания равен R. В обоих подходах получается одна формула, зависящая только от радиуса: если он меняется в k раз, площадь меняется в k² раз.
| Тело и поверхность | Обозначения | Площадь боковой поверхности | Площадь полной поверхности |
|---|---|---|---|
| Прямой круговой цилиндр | r — радиус основания, h — высота | 2πrh | 2πrh + 2πr² |
| Прямой круговой конус | r — радиус основания, h — высота, l — образующая | πrl | πrl + πr² |
| Сфера | R — радиус | — | 4πR² |
Сначала определите, какое тело дано и требуется ли боковая или полная поверхность. Для конуса в боковую формулу подставляют образующую l, а не высоту h; для полной площади добавляют площадь основания. Сферу рассматривают целиком, поэтому её поверхность вычисляют по формуле 4πR².
Задача 1. Дан прямой круговой цилиндр с радиусом основания 3 см и высотой 8 см. Найти площади боковой и полной поверхностей. Сначала используем формулу для боковой части, затем отдельно прибавим площади двух оснований. Все длины заданы в сантиметрах, поэтому ответ получится в квадратных сантиметрах.
Ответ: боковая площадь равна 48π см², полная — 66π см² (примерно 207,3 см²). Отдельное вычисление оснований помогает не спутать боковую и полную поверхности. Размерность см² подтверждает, что найдена площадь, а не длина.
Задача 2. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса 10 см с углом 216°. Найти радиус основания и площадь полной поверхности конуса. Радиус сектора здесь является образующей: l = 10 см. Чтобы найти r, приравняем длину дуги сектора длине окружности основания.
Ответ: радиус основания равен 6 см, полная площадь — 96π см² (примерно 301,6 см²). Проверка по дуге показывает, что окружность основания меньше окружности радиуса образующей, как и должно быть в этом секторе. В формулу площади подставлены и радиус основания, и образующая, а не два одинаковых радиуса.
Задача 3. Сферу радиуса 6 см заменили сферой, радиус которой увеличили в 1,5 раза. Во сколько раз изменилась площадь поверхности и чему равна площадь новой сферы? Поскольку площадь содержит квадрат радиуса, сначала определим коэффициент изменения площади. Затем найдём новый радиус и подставим его в формулу.
Ответ: площадь увеличилась в 2,25 раза и равна 324π см². Это можно проверить сравнением площадей: исходная площадь равна 4π · 6² = 144π см², а 324π/144π = 2,25. Коэффициент роста площади не равен коэффициенту роста радиуса, потому что радиус возводится в квадрат.
Первая ошибка — назвать боковую площадь полной или наоборот, не добавив основания. Её допускают, когда воспринимают тело как одну поверхность и не разделяют её на части. Проверьте, что требуется в условии: у полного цилиндра должны учитываться два круга, у полного конуса — один, а для боковой поверхности их площадь не прибавляют.
Вторая ошибка — подставить высоту конуса в формулу Sбок = πrl вместо образующей. Высота проходит внутри конуса от вершины перпендикулярно основанию, а образующая наклонена и является радиусом сектора развёртки. Для прямого конуса можно проверить значение по теореме Пифагора: l = √(h² + r²), поэтому l больше h.
Третья ошибка — принять радиус сектора развёртки за радиус основания конуса. В секторе радиус равен образующей, поскольку при распрямлении длина наклонной линии от вершины до основания сохраняется. Чтобы проверить, найдите длину дуги сектора и приравняйте её 2πr: так определяется именно радиус основания.
Четвёртая ошибка — забыть квадрат радиуса сферы или подставить вместо него диаметр. Такое случается из-за похожести формулы площади круга и сферы или из-за невнимательности к обозначениям. Запишите S = 4πR² и проверьте, что R — половина диаметра, если дан именно диаметр; итоговая единица измерения должна быть квадратной.
Для вычислений нужны формулы длины окружности 2πr и площади круга πr², а также умение находить площадь прямоугольника и сектора. В задачах на конус важно различать высоту и образующую, понимать развёртку и применять теорему Пифагора. Эти инструменты связывают пространственную фигуру с плоскими фигурами, площадь которых уже знакома. Формулы поверхностей применяются на практике, например, чтобы оценить расход материала для оболочки, упаковки или детали вращения.
Почему боковая поверхность цилиндра в развёртке является прямоугольником?
Если разрезать боковую поверхность цилиндра по образующей и развернуть её, высота цилиндра станет одной стороной прямоугольника. Другой стороной будет длина окружности основания, потому что именно на неё поверхность оборачивается вокруг цилиндра.
Чем площадь боковой поверхности отличается от площади полной поверхности?
Боковая площадь учитывает только изогнутую часть тела. Полная площадь включает также основания: два круга у цилиндра и один круг у конуса.
Как найти образующую конуса, если известны его высота и радиус основания?
В прямом круговом конусе высота, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора l = √(h² + r²), где l — образующая.
Почему радиус сектора в развёртке конуса равен образующей?
Образующая соединяет вершину конуса с точкой на окружности основания и становится прямым краем боковой поверхности. При развёртывании этот край не меняет длину, а в секторе он является радиусом.
Как изменится площадь сферы, если её радиус увеличить вдвое?
Площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса: S = 4πR². Если радиус увеличить в два раза, площадь возрастёт в 2² = 4 раза.
6.3. Площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы
