"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Усечённый конус — часть конуса, оставшаяся между основанием и параллельной ему плоскостью. У него два круглых основания разного радиуса, а расстояние между ними называют высотой. Чтобы найти, сколько места занимает такое тело, используют формулу V = ⅓πh(R² + Rr + r²). Она получается как разность объёмов большого и отсечённого малого конусов и помогает решать задачи о вместимости и составных телах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Усечённый конус — часть конуса, заключённая между его основанием и плоскостью, параллельной основанию. Тело ограничивают две круглые поверхности — больший и меньший круги, а также боковая поверхность. Проще представить его как конус без верхней острой части. Это определение помогает отличить усечённый конус от полного конуса и понять, какие поверхности образуют тело.
Радиусы оснований усечённого конуса — это радиусы двух кругов, которые ограничивают его сверху и снизу. Радиус большего основания обозначают R, а меньшего — r; всегда R > r. Такое обозначение сразу показывает, какое основание шире. Оно понадобится при подстановке размеров в формулу и помогает не перепутать радиусы.
Высота усечённого конуса — расстояние между плоскостями его оснований, обозначаемое h. Она направлена перпендикулярно к этим плоскостям, а не вдоль наклонной боковой поверхности. Наклонный отрезок между основаниями называется образующей, поэтому он не заменяет высоту. Различать эти величины нужно, чтобы правильно подставлять данные в формулу объёма.
Объём усечённого конуса показывает, сколько места занимает тело. Его обозначают V и измеряют в кубических единицах: например, см³ или м³. Это связано с тем, что объём описывает пространство в трёх измерениях. Понятие нужно, чтобы сравнивать вместимость тел и находить количество жидкости или другого содержимого.
Представим усечённый конус как часть большого конуса, от которого срезали верхушку плоскостью, параллельной основанию. Если продолжить боковые стороны, они встретятся в общей вершине, и тело станет разностью большого и малого конусов. Поэтому объём усечённой части можно найти, вычитая объём малого конуса из объёма большого. Такой подход позволяет воспользоваться уже знакомой формулой объёма конуса.
Большой и малый конусы подобны: их боковые стороны лежат на одних прямых, а основания параллельны. У подобных конусов отношение радиусов оснований равно отношению высот, отсчитанных от общей вершины. Обозначим высоту большого конуса через H, а малого — через x; тогда x/H = r/R. Это равенство связывает размеры удалённой части с радиусами и позволяет выполнить вычитание, даже если высоты H и x отдельно не даны.
Высота усечённого конуса равна разности высот двух конусов: h = H − x. Из подобия следует x = Hr/R, поэтому h = H(R − r)/R, откуда H = hR/(R − r), а x = hr/(R − r). Объёмы конусов равны ⅓πR²H и ⅓πr²x. Вычитая второй из первого и подставляя выражения для H и x, получаем V = ⅓πh(R³ − r³)/(R − r).
Разность кубов раскладывается так: R³ − r³ = (R − r)(R² + Rr + r²). После сокращения на R − r получается формула V = ⅓πh(R² + Rr + r²). Здесь R и r — радиусы большего и меньшего оснований, h — расстояние между ними, а π — число пи. Сумма в скобках не меняется при перестановке радиусов, то есть выражение симметрично относительно R и r; однако по обозначениям R всё равно считают большим радиусом.
Проверка частных случаев помогает убедиться, что формула согласуется со знакомыми телами. Если r = 0, верхнее основание стягивается в точку, и получается полный конус: V = ⅓πhR². Если же R = r, боковая поверхность становится прямой, как у цилиндра, а выражение в скобках равно 3R². Тогда V = πR²h — формула объёма цилиндра. Эти проверки показывают, что формула усечённого конуса естественно связывает объёмы конуса и цилиндра.
| Величина или случай | Обозначение или формула | Что показывает |
|---|---|---|
| Проверка при r = 0 | V = ⅓πR²h | Формула объёма конуса |
Строка таблицы показывает, что при исчезновении меньшего основания формула усечённого конуса должна превратиться в формулу полного конуса. При решении задач сначала определите, какой случай дан, и подпишите величины R, r и h. Затем выберите подходящую формулу и проверьте единицы измерения.
В задаче известны оба радиуса и высота, поэтому можно сразу применить основную формулу. Большему основанию соответствует R = 6 см, меньшему — r = 3 см, а h = 4 см. Сначала отдельно вычислим выражение в скобках, чтобы не потерять смешанное слагаемое Rr.
Ответ: 84π см³ (примерно 264 см³). Кубические сантиметры выбраны потому, что все линейные размеры заданы в сантиметрах. Порядок радиусов не влияет на сумму в скобках, но обозначения R и r всё равно следует назначать правильно.
Высота неизвестна, поэтому оставим её в формуле и решим уравнение. Больший радиус равен 4 см, меньший — 2 см; объём дан в тех же единицах, что и π, поэтому его удобно сократить. После вычисления скобок останется линейное уравнение относительно h.
Ответ: высота равна 3 см. Проверка подстановкой даёт V = ⅓π · 3 · 28 = 28π см³, как и указано в условии. Если при переносе множителей получилась другая высота, стоит проверить сокращение на 28π.
Сначала нужно найти радиус меньшего основания: исходный и отсечённый конусы подобны. Высота малого конуса отсчитывается от общей вершины, поэтому отношение его высоты к высоте исходного конуса равно отношению радиусов. Затем найдём объёмы обоих конусов и вычтем меньший из большего.
Ответ: 128π см³. Вычитать нужно именно объём отсечённого малого конуса, потому что он не входит в оставшуюся часть. Полученный результат можно также проверить основной формулой усечённого конуса с радиусами 6 см и 2 см и высотой 12 − 4 = 8 см.
Первая ошибка — подставить образующую вместо высоты. Образующая наклонена, а формула объёма использует перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований; их путают, потому что обе величины соединяют боковые края тела. Проверьте себя: высота образует прямой угол с основаниями, а образующая идёт по боковой поверхности.
Можно перепутать радиусы и принять меньший за R. Такое случается, когда обозначения присваивают без сравнения чисел или не смотрят, какое основание шире. Сначала подпишите радиус большего круга как R, меньшего — как r, и проверьте неравенство R > r. Хотя сумма в формуле симметрична, чёткие обозначения особенно важны при задачах на подобие.
Иногда забывают слагаемое Rr или ошибочно умножают его на два. Причина — попытка запомнить формулу только по двум квадратам, не представляя её вывода через разность объёмов конусов. Сверьте запись с полной суммой R² + Rr + r²: у смешанного члена коэффициент равен единице. Для дополнительной проверки подставьте R = r: сумма должна превратиться в 3R², чтобы получилась формула цилиндра.
Ещё одна ошибка — записать ответ в квадратных единицах или забыть возвести радиусы в квадрат. Площадь измеряется в квадратных единицах, но объём занимает три измерения, поэтому его единицы должны быть кубическими. Проверьте размерность: h умножается на выражение с квадратами радиусов, значит получается единица длины в третьей степени. Также отдельно пересчитайте R² и r² перед сложением.
Для вывода формулы и её проверки нужно знать формулу объёма конуса V = ⅓πR²h. Случай равных радиусов связывает усечённый конус с объёмом цилиндра V = πR²h. Эти формулы позволяют узнавать знакомые тела в частных случаях и выбирать подходящий способ вычисления.
Нахождение радиуса отсечённой части опирается на подобие треугольников и конусов. Параллельность оснований создаёт равные углы, поэтому большой и малый конусы имеют одинаковую форму, но разные размеры. Благодаря этому отношение радиусов можно приравнять к отношению высот.
Формула полезна в задачах на объёмы составных тел: усечённый конус можно складывать с другими частями или вычитать из них. Она также подходит для оценки вместимости предметов конической формы, например ёмкостей с широким дном и более узким верхом. При практических расчётах важно привести все размеры к одной единице.
Почему объём усечённого конуса нельзя найти как объём полного конуса с радиусом большего основания?
Полный конус включает ещё и часть, отсечённую плоскостью, поэтому его объём будет больше объёма усечённого тела. Нужно вычесть объём малого конуса или сразу применить формулу усечённого конуса.
Как определить высоту усечённого конуса, если известны его объём и радиусы оснований?
В формуле V = ⅓πh(R² + Rr + r²) выразите высоту: h = 3V / [π(R² + Rr + r²)]. Подставьте объём и радиусы, соблюдая одинаковые единицы измерения.
Чем высота усечённого конуса отличается от его образующей?
Высота — это перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Образующая — наклонный отрезок боковой поверхности между окружностями оснований, поэтому обычно она длиннее высоты.
Как найти радиус меньшего основания, если известны размеры исходного конуса и отсечённой части?
Малый и исходный конусы подобны, поэтому отношение радиусов равно отношению их высот. Если исходный конус имеет радиус R и высоту H, а отсечённая часть — высоту x, то меньший радиус равен r = Rx/H.
Почему в формуле объёма присутствует слагаемое Rr?
Оно появляется при вычитании объёмов двух подобных конусов и упрощении разности кубов радиусов. Смешанный член учитывает совместный вклад обоих оснований, а не только каждого радиуса по отдельности.
75. Объем усеченного конуса
