"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Шар — часть пространства, ограниченная сферой; его размер описывает объём, который измеряют в кубических единицах. Главная формула темы: V = 4⁄3πR³, где R — радиус шара. Она получается сравнением с цилиндром, из которого вычтены два конуса, и помогает решать задачи по известному радиусу или объёму. Из формулы также видно: если радиус увеличить в несколько раз, объём изменится в куб этого числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до заданного центра не больше радиуса R. Иначе говоря, шар включает внутреннюю область и её границу. Это определение нужно, чтобы отличать всё тело, объём которого вычисляют, от одной лишь его поверхности.
Сфера — поверхность, состоящая из точек, удалённых от центра на расстояние, равное радиусу R. Все точки сферы лежат на одинаковом расстоянии от центра, а точки внутри шара — на меньшем. Сфера служит границей шара, поэтому её можно представить как оболочку объёмного тела.
Объём шара характеризует часть пространства, занимаемую шаром. Его измеряют в кубических единицах, например в см³ или м³, потому что объём относится к трём измерениям. Это позволяет сравнивать, сколько места занимают разные шары или тела.
Радиус шара — расстояние от его центра до любой точки сферы; обычно его обозначают R. Он не зависит от того, какую точку сферы выбрали: все такие расстояния равны. Радиус нужен в формуле объёма, поэтому при известном диаметре сначала находят половину этой величины.
Для вывода формулы мысленно пересечём шар плоскостью, проходящей на расстоянии x от центра. Полученное сечение — круг: его радиус, гипотенуза которого равна R, находят из прямоугольного треугольника с катетами x и радиусом сечения. По теореме Пифагора радиус круга равен √(R² − x²), а площадь сечения — π(R² − x²). При x = 0 сечение самое большое, а у границы шара его радиус стремится к нулю.
Теперь возьмём цилиндр радиуса R и высоты 2R, расположив его ось через центр шара. Внутри цилиндра мысленно построим два конуса с общей вершиной в центре цилиндра: их основания совпадают с основаниями цилиндра, а высота каждого равна R. После вычитания конусов останется тело, с которым удобно сравнить шар. Такой выбор размеров важен: высота цилиндра и положение вершин задают одинаковую зависимость размеров сечений от расстояния до середины.
Рассмотрим горизонтальное сечение оставшейся части цилиндра на расстоянии x от центра. Радиус цилиндра там равен R, а расстояние от оси до поверхности конуса — |x|: боковая поверхность конуса сужается от основания к общей вершине линейно. Значит, у оставшейся части сечение — кольцо с площадью πR² − πx² = π(R² − x²). У шара на той же высоте площадь равна π(R² − x²), поэтому площади соответствующих сечений совпадают.
Принцип Кавальери утверждает: если у двух тел одинаковой высоты площади сечений плоскостями на одинаковых уровнях равны, то равны и объёмы этих тел. Здесь равенство доказано для любого положения плоскости, включая центральное сечение и сечения у краёв. Поэтому объём шара равен объёму цилиндра за вычетом объёмов двух конусов. Для применения этого принципа не требуется, чтобы тела имели одинаковую форму.
Объём цилиндра равен πR² · 2R = 2πR³. Каждый конус имеет основание радиуса R и высоту R, поэтому его объём равен ⅓πR² · R = ⅓πR³, а двух конусов — ⅔πR³. Вычитаем: V = 2πR³ − ⅔πR³ = ⁴⁄₃πR³. Так получается формула объёма шара, где R — именно радиус.
| Тело | Размеры | Формула объёма |
|---|---|---|
| Шар | радиус R | ⁴⁄₃πR³ |
| Цилиндр | радиус R, высота 2R | 2πR³ |
| Два конуса | радиус основания R, высота каждого R | ⅔πR³ |
| Связь объёмов | шар равен цилиндру без двух конусов | 2πR³ − ⅔πR³ = ⁴⁄₃πR³ |
Сначала по таблице можно проверить, из каких знакомых тел составлено сравнение. Затем достаточно вычесть объём двух конусов из объёма цилиндра: результат совпадает с формулой для шара. Для задач на объём самого шара используйте первую строку, а остальные помогают понять вывод.
Задача 1. Найти объём шара радиуса 3 см. Радиус уже известен, поэтому можно сразу применить формулу V = ⁴⁄₃πR³. Перед вычислением проверьте, что подставляете именно радиус, а не диаметр.
Ответ: 36π см³. Единица кубическая, поскольку найден объём.
Задача 2. Объём шара равен 36π см³, нужно найти радиус. Здесь формулу используют в обратном направлении: сначала оставляют R³ отдельно, а затем извлекают кубический корень. Поскольку в заданном объёме уже есть множитель π, он сократится при делении.
Ответ: радиус шара равен 3 см. Проверка проста: подстановка 3 в формулу даёт объём 36π см³.
Задача 3. Радиус одного шара в 2 раза больше радиуса другого. Нужно сравнить их объёмы. Обозначим меньший радиус через R, тогда больший равен 2R; подставление обоих значений в формулу покажет, во сколько раз изменился объём.
Ответ: объём шара с радиусом вдвое больше увеличится в 8 раз. Куб возникает потому, что в формуле радиус стоит в третьей степени.
В формулу подставляют диаметр вместо радиуса, потому что эти величины легко перепутать. Тогда объём оказывается завышен в 8 раз: диаметр вдвое больше радиуса, а его куб — в восемь раз. Перед вычислением проверьте, что радиус равен половине диаметра.
Иногда забывают куб радиуса или коэффициент ⁴⁄₃, перенося в формулу шара выражения для цилиндра или конуса. Это меняет и размер, и значение ответа. Для проверки запишите формулу целиком до подстановки: V = ⁴⁄₃πR³.
Ещё одна ошибка — указывать см² вместо см³. Квадратные единицы описывают площадь, а объём относится к трём измерениям. Проверяйте, что в ответе стоят кубические единицы: например, см³ или м³.
При сравнении шаров можно ошибочно решить, что увеличение радиуса в несколько раз увеличивает объём во столько же раз. Так происходит, если учитывать только множитель при R, но забывать третью степень. Подставьте коэффициент увеличения в формулу: при радиусе kR отношение объёмов равно k³.
Для вывода формулы нужны известные формулы объёмов цилиндра и конуса, а также площадь круга S = πr². Без них нельзя вычислить объёмы сравниваемых тел и площади их сечений. Поэтому полезно уверенно различать радиус, высоту и площадь основания.
Принцип Кавальери связывает геометрию с вычислением объёмов: сравнивают площади сечений тел на одинаковой высоте. Он позволяет обосновать формулу шара через уже известные тела, не разбивая шар на простые части. Формула пригодится в задачах на составные тела и объёмы частей шара.
Чем шар отличается от сферы?
Сфера — это поверхность: все её точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. Шар включает эту поверхность и все точки внутри неё, поэтому у шара есть объём.
Почему в формуле объёма шара радиус возводится в третью степень?
Объём измеряет пространство в трёх измерениях, поэтому его единица — кубическая. В формуле V = 4⁄3πR³ радиус возводится в куб, а числовой коэффициент равен 4⁄3π.
Как найти объём шара, если дан его диаметр?
Сначала разделите диаметр пополам: радиус R равен d⁄2. Затем подставьте его в формулу V = 4⁄3πR³.
Во сколько раз изменится объём шара, если радиус увеличить вдвое?
Объём увеличится в 2³ = 8 раз. Это следует из того, что в формуле радиус возводится в третью степень.
Почему при выводе формулы объёма шара сравнивают его с цилиндром и конусами?
Такое сравнение позволяет применить принцип Кавальери и заменить вычисление объёма шара известными формулами. Сечения шара совпадают по площади с сечениями цилиндра, из которого вычтены два конуса.
76. Объем шара
