30.3. Объем шара

Определения и обозначения

Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, удалённых от центра не более чем на заданное расстояние. Его границу называют сферой: сфера содержит только точки на расстоянии ровно R от центра, а шар включает также внутренние точки. Такое различие помогает не смешивать поверхность и всё тело, объём которого мы находим.

Радиус шара — расстояние от его центра до границы; обозначим его буквой R. Все точки сферы равноудалены от центра, поэтому любой отрезок от центра до сферы имеет длину R. Радиус нужен, чтобы определить размер шара и подставить его в формулу объёма.

Объём шара — величина, характеризующая часть пространства, занимаемую шаром; обозначим её V. Объём измеряют в кубических единицах: например, в см³ или м³. Эта величина позволяет сравнивать, сколько места занимают разные шары, и вычислять объём тела по его радиусу.

Как это устроено

Чтобы найти объём шара, рассмотрим его сечения плоскостями, перпендикулярными выбранной оси, проходящей через центр. Если плоскость находится на расстоянии x от центра, радиус сечения вместе с отрезком x и радиусом шара образует прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора радиус круга сечения равен √(R² − x²), поэтому его площадь равна π(R² − x²). Зависимость площади от положения плоскости позволяет сравнить шар с другим телом.

Возьмём цилиндр радиуса R и высоты 2R, расположив его ось так же, как ось шара. Удалим из цилиндра два конуса: у них общая вершина в центре цилиндра, а основания совпадают с его верхним и нижним основаниями. На уровне, удалённом от центра на |x|, сечение каждого конуса имеет радиус |x|. Поэтому оставшаяся часть сечения цилиндра — кольцо площадью πR² − πx², то есть π(R² − x²), как и сечение шара.

Принцип Кавальери утверждает: если два тела имеют одинаковую высоту и на каждом уровне их сечения плоскостями одинаковой площади, то объёмы тел равны. Здесь высота оставшейся части цилиндра равна 2R — высоте шара, а площади соответствующих сечений совпадают. Значит, объём шара можно найти, вычислив объём цилиндра и вычтя объём удалённых конусов. Такой способ даёт формулу без измерения содержимого шара.

Объём цилиндра равен πR² · 2R = 2πR³. Каждый из двух конусов имеет высоту R и основание радиуса R, поэтому их суммарный объём равен 2 · ⅓πR² · R = ⅔πR³. Вычитая объёмы, получаем V = 2πR³ − ⅔πR³ = ⁴⁄₃πR³. Формула показывает, что объём определяется кубом радиуса.

При вычислениях подставляй именно радиус и сохраняй единицы измерения: если R задан в сантиметрах, ответ получится в кубических сантиметрах. Если дан диаметр d, сначала найди радиус R = d/2. При изменении радиуса в k раз новый объём будет в k³ раз больше или меньше исходного, потому что в формуле стоит R³. Например, увеличение радиуса вдвое увеличивает объём в восемь раз.

Величины и формулы для объёма шара

Сначала определи, какие данные известны: радиус, диаметр или объём. Если дан диаметр, переведи его в радиус, а если нужно сравнить шары, сравни кубы их радиусов. Последняя строка таблицы особенно полезна, когда спрашивают не конкретный объём, а во сколько раз он изменится.

Разбор задач

Найти объём шара радиуса 3 см. Здесь радиус уже дан, поэтому нужно непосредственно применить формулу объёма. Единицы радиуса заданы в сантиметрах, значит, результат следует записать в кубических сантиметрах.

1. Запишем формулу: V = ⁴⁄₃πR³.
2. Подставим R = 3 см: V = ⁴⁄₃π · 3³.
3. Вычислим: 3³ = 27, поэтому V = ⁴⁄₃π · 27 = 36π см³.

Ответ: 36π см³.

Объём шара равен 288π см³. Найти его радиус. Чтобы восстановить радиус, выразим из формулы его куб, а затем извлечём кубический корень. Множитель π присутствует и в заданном объёме, и в формуле, поэтому его можно сократить.

1. Подставим известный объём: 288π = ⁴⁄₃πR³.
2. Сократим на π и выразим R³: R³ = 288 · ¾ = 216.
3. Извлечём кубический корень: R = ∛216 = 6 см.

Ответ: 6 см.

Радиус одного шара вдвое больше радиуса другого. Во сколько раз различаются их объёмы? Обозначим меньший радиус через r, тогда больший равен 2r. В формулу объёма входит куб радиуса, поэтому сравним (2r)³ и r³, а одинаковые множители ⁴⁄₃π сократятся.

1. Запишем отношение большего объёма к меньшему: (⁴⁄₃π(2r)³) / (⁴⁄₃πr³).
2. Сократим общие множители и вычислим отношение: (2r)³ / r³ = 8.

Ответ: объём большего шара в 8 раз больше.

Типичные ошибки

Подстановка диаметра вместо радиуса даёт завышенный результат: диаметр вдвое больше радиуса, а в формуле он возводился бы в куб. Так ошибаются, когда механически подставляют единственный указанный размер шара. Перед вычислением проверь обозначение и, если дан диаметр, раздели его на 2.

Иногда забывают возвести радиус в куб или теряют множитель ⁴⁄₃π. Причина обычно в спешке при подстановке или упрощении выражения. Проверь, что записал всю формулу V = ⁴⁄₃πR³, а затем отдельно вычислил R³.

Запись ответа в квадратных единицах неверна: квадратные единицы относятся к площади, а объём измеряется в кубических. Ошибка возникает, если единицы не возводят в степень вместе с числом. Проверка проста: при радиусе в сантиметрах ответ должен быть в см³, а при радиусе в метрах — в м³.

Увеличение радиуса в k раз не означает увеличение объёма в k раз. Такое предположение забывает о третьей степени радиуса в формуле. Чтобы проверить себя, подставь новый радиус kR: получится множитель k³, а не k.

Связь с другими темами

Для обоснования формулы понадобятся формулы объёмов цилиндра и конуса, а также понятие площади сечения тела. Принцип Кавальери связывает площади соответствующих сечений с равенством объёмов и позволяет получить формулу шара геометрическим сравнением. Позже формула пригодится в задачах о телах, составленных из шаров, цилиндров и конусов, а также при вычислении объёма части шара.

Что запомнить

• Объём шара радиуса R равен V = ⁴⁄₃πR³.
• В формулу подставляют радиус, а не диаметр.
• Объём измеряют в кубических единицах.
• При увеличении радиуса в k раз объём увеличивается в k³ раз.
• Формулу можно получить, сравнив сечения шара и цилиндра с двумя удалёнными конусами.