30.4. Объемы некоторых тел вращения

Определения и обозначения

Тело вращения — тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в её плоскости. Эту прямую называют осью вращения. Представление о том, какая фигура и вокруг какой линии вращается, помогает увидеть устройство тела и понять форму его сечений.

Цилиндр — тело вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. Радиус основания обозначают R, а высоту цилиндра — h; высота измеряется вдоль оси вращения. Такое описание позволяет связать объём цилиндра с площадью круглого основания и расстоянием между основаниями.

Конус — тело вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Радиус основания обозначают R, высоту — h; ось проходит по катету, вокруг которого вращают треугольник. Это важно для различения высоты конуса и наклонной образующей: в формуле объёма используется именно высота.

Шар — тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. Радиус шара обозначают R; он равен расстоянию от центра до любой точки поверхности. Определение через вращение помогает представить шар как набор круглых сечений, размеры которых меняются от экватора к полюсам.

Как это устроено

Если пересечь тело вращения плоскостью, перпендикулярной оси, получится круг или кольцо: все точки образующей фигуры при вращении проходят окружности вокруг оси. Для цилиндра такие сечения — одинаковые круги, для конуса — круги разного радиуса, а для полого тела может получиться кольцо. Радиус сечения равен расстоянию от оси до вращаемой границы фигуры на выбранном уровне; у кольца внутренний радиус задаёт граница полости.

Цилиндр можно мысленно сложить из тонких слоёв, каждый из которых имеет одинаковую площадь πR². Если сложить такие слои по всей высоте h, получится произведение площади основания на высоту: V = Sоснh = πR²h. Поэтому при неизменном радиусе удвоение высоты удваивает объём, а при удвоении радиуса объём возрастает в четыре раза.

У конуса с теми же основанием и высотой, что у цилиндра, сечения тоже круглые, но ближе к вершине они становятся меньше. На расстоянии x от вершины радиус сечения составляет долю x/h от радиуса основания, поэтому площадь сечения уменьшается как квадрат этой доли. Суммарный объём таких сечений равен одной трети объёма цилиндра: V = ⅓πR²h. Отсюда и появляется множитель ⅓, а не из простого сравнения высот или оснований.

Шар получается при вращении полукруга, поэтому на высоте x от его центра радиус круглого сечения определяется прямоугольным треугольником: r² + x² = R². Сечения у центра самые большие, а при приближении к краям их радиусы стремятся к нулю. Если сложить объёмы всех таких тонких круговых слоёв от одного края шара до другого, получится V = 4/3πR³. Формула показывает, что увеличение радиуса влияет на объём в третьей степени.

Составное тело вращения можно разделить на цилиндры, конусы и другие знакомые части. Если части не перекрываются, объём всего тела равен сумме их объёмов; если внутри есть полость или из тела вырезан фрагмент, объём удалённой части вычитают. Такой подход работает потому, что объём измеряет занимаемое пространство, а общие границы частей не добавляют отдельного объёма.

Объёмы основных тел вращения

Сначала найдите нужную строку по типу тела, затем проверьте, какие параметры даны и какая формула им соответствует. Для цилиндра и конуса полезно отдельно вычислить площадь основания πR², а затем учесть высоту и множитель ⅓ для конуса. Все длины перед вычислением должны быть выражены в одинаковых единицах.

Разбор задач

Цилиндр радиуса 3 см и высоты 8 см

Нужно найти объём цилиндра, зная радиус основания и высоту. Подойдёт формула V = πR²h; перед подстановкой возводим в квадрат именно радиус. Поскольку размеры заданы в сантиметрах, результат будет выражен в кубических сантиметрах.

1. Записываем формулу: V = πR²h. Она складывает объём одинаковых круглых слоёв по всей высоте цилиндра.

2. Подставляем R = 3 см и h = 8 см: V = π · 3² · 8 = 72π см³. Сначала вычисляем квадрат радиуса, затем умножаем на высоту.

3. При необходимости используем π ≈ 3,14: V ≈ 72 · 3,14 = 226,08 см³. Точный ответ удобнее оставить с π.

Ответ: 72π см³, или примерно 226,08 см³.

Конус радиуса 6 см и высоты 10 см

Найдем объём конуса, а затем сравним его с цилиндром, у которого такие же радиус основания и высота. При сравнении удобно сначала вычислить общий множитель πR²h: у цилиндра он входит целиком, а у конуса берётся треть. Следовательно, достаточно одного вычисления, чтобы получить оба объёма.

1. Для конуса используем V = ⅓πR²h. Подставляем заданные значения: V = ⅓π · 6² · 10.

2. Вычисляем: 6² = 36, поэтому V = ⅓ · 360π = 120π см³. Множитель ⅓ применяем к произведению площади основания на высоту.

3. Для цилиндра с теми же параметрами V = π · 6² · 10 = 360π см³. Отношение 120π к 360π равно 1/3, значит конус занимает треть объёма такого цилиндра.

Ответ: объём конуса — 120π см³, объём цилиндра — 360π см³.

Из цилиндра вырезали два одинаковых конуса

Два конуса вырезаны из цилиндра радиуса R и высоты h так, что у них общее основание. Их основания совпадают с кругом в середине цилиндра, а вершины находятся у противоположных оснований цилиндра. Поэтому высота каждого конуса равна h/2, а радиус основания — R. Чтобы получить оставшийся объём, вычтем объёмы обоих конусов из объёма цилиндра.

1. Объём исходного цилиндра равен Vц = πR²h. Это весь объём до удаления конусов.

2. Объём одного конуса равен Vк = ⅓πR² · h/2 = πR²h/6. Для двух одинаковых конусов получаем 2Vк = πR²h/3.

3. Вычитаем удалённый объём: Vост = πR²h − πR²h/3 = ⅔πR²h. Вычитание соответствует тому, что конусы занимали часть внутреннего пространства цилиндра.

Ответ: ⅔πR²h.

Типичные ошибки

В формулах иногда подставляют диаметр вместо радиуса, потому что в условии чаще указан диаметр или он виден на схеме. Но площадь основания рассчитывают как πR², а объём шара — по формуле с R³, поэтому такая подстановка особенно сильно меняет ответ. Перед вычислением разделите диаметр на два и проверьте, что обозначили радиус буквой R.

При вычислении объёма конуса можно забыть множитель ⅓ и получить формулу цилиндра. Это происходит, когда запоминают только πR²h и не учитывают, что конус с такими же основанием и высотой занимает треть цилиндра. Проверьте результат сравнением: объём конуса должен быть меньше объёма соответствующего цилиндра ровно в три раза.

Ещё одна ошибка — использовать образующую конуса вместо высоты. Образующая наклонена к основанию, а высота перпендикулярна ему; только высота задаёт расстояние вдоль оси и входит в формулу V = ⅓πR²h. Если дано значение образующей, сначала найдите высоту, например по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами R и h.

При наличии полости иногда складывают объёмы всех частей, забывая, что вырезанный фрагмент больше не входит в тело. Причина — мысленно воспринимать все найденные объёмы как отдельные слагаемые, не выяснив, какие части остались. Нарисуйте схему разбиения и подпишите «добавлено» или «удалено»: первые объёмы складывают, вторые вычитают.

Связь с другими темами

Для работы с объёмами тел вращения нужны площадь круга, свойства цилиндра и конуса, единицы измерения объёма и принцип сложения объёмов. Формулы продолжают тему объёмов призмы и пирамиды, а формула шара расширяет изучение объёмов круглых тел. Составные фигуры решают, разделяя их на знакомые части или учитывая удалённые области. Эти приёмы применяются в инженерных расчётах и связаны с использованием определённого интеграла для вычисления объёмов.

Что запомнить

• Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
• Vцилиндра = πR²h.
• Объём конуса с теми же основанием и высотой в три раза меньше объёма цилиндра.
• Vконуса = ⅓πR²h.
• Шар радиуса R имеет объём Vшара = 4/3πR³.
• В составных телах объёмы частей складывают, а объёмы вырезанных частей вычитают.