30.5. Изменение объема при подобии

Определения и обозначения

Подобные тела — тела, у которых соответствующие линейные размеры относятся с одним и тем же коэффициентом. Линейными размерами могут быть, например, рёбра многогранника или диаметры сфер. Иными словами, форма сохраняется, хотя тело может быть больше или меньше. Это определение нужно, чтобы отличать подобное изменение от произвольного изменения размеров.

Коэффициент подобия показывает, во сколько раз отличаются соответствующие линейные размеры двух подобных тел. Если сравниваем первое тело со вторым, обозначим коэффициент k: тогда k = a₁/a₂, где a₁ и a₂ — соответствующие размеры. При k > 1 первое тело крупнее по линейным размерам, а при k < 1 — меньше. Такой коэффициент нужен, чтобы описывать масштаб изменения и затем связывать его с объёмом.

Отношение объёмов — частное объёма одного тела и объёма другого, например V₁/V₂. Оно показывает, во сколько раз один объём больше или меньше другого, и должно записываться в том же порядке, что и сравнение тел. Если объёмы выражены в одинаковых единицах, отношение не зависит от выбора самих единиц: переход от кубических сантиметров к кубическим метрам меняет оба числа одинаковым множителем. Отношение объёмов называют объёмным масштабом.

Как это устроено

При подобии все линейные размеры меняются с одним коэффициентом k. Поэтому любые две соответствующие длины относятся как k, а площадь, составленная из двух таких измерений, меняется как k · k = k². Так происходит с площадями соответствующих сечений и поверхностей. Для объёма одного такого множителя недостаточно: он характеризует заполнение пространства по трём направлениям.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с рёбрами a, b и c. Его объём равен V = abc, потому что основание имеет площадь ab, а тело простирается на высоту c. Если каждое ребро умножить на k, получим объём V′ = (ka)(kb)(kc). Раскрывая произведение, видим V′ = k³abc = k³V: множитель возникает отдельно для каждого из трёх измерений.

Это рассуждение относится не только к прямоугольному параллелепипеду. При подобии преобразуется всё тело, и каждый отрезок в любом из трёх пространственных направлений умножается на один и тот же коэффициент. Значит, каждой малой части объёма соответствующей области отвечает часть, увеличенная по трём направлениям; произведение трёх множителей равно k³. Поэтому форма тела не меняет закона: он применим к подобным многогранникам, шарам и другим телам.

Теорема. Отношение объёмов двух подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Если k — отношение соответствующих линейных размеров первого тела ко второму, то V₁/V₂ = k³. Порядок индексов здесь согласован: первому телу в отношении размеров соответствует первое тело в отношении объёмов. Если поменять тела местами, отношения станут обратными.

Теорему можно использовать в обе стороны. Если известен коэффициент подобия, возведите его в третью степень — получите отношение объёмов; если известно отношение объёмов, извлеките кубический корень, чтобы найти отношение линейных размеров. Например, при отношении объёмов 64:27 коэффициент равен ∛(64/27) = 4/3. Этот способ удобен, когда непосредственно измерить длины сложно, но объёмы известны или могут быть найдены.

Как изменяются размеры и объем подобных тел

Пользуйтесь таблицей, сначала определив, что именно сравнивается: длины, площади или объёмы. Затем выберите нужную степень коэффициента либо извлечение кубического корня. Следите за порядком: если коэффициент записан для первого тела относительно второго, так же записывайте и отношение объёмов.

Разбор задач

Задача 1. Два подобных куба имеют отношение соответствующих рёбер 2:3. Найти отношение их объёмов. Кубы подобны, а значит, заданное отношение рёбер является коэффициентом подобия первого куба ко второму. Поскольку требуется сравнить объёмы, линейное отношение нужно возвести в третью степень.

1. Записываем коэффициент: k = 2/3.
2. Применяем теорему: V₁/V₂ = k³.
3. Вычисляем: V₁/V₂ = (2/3)³ = 8/27.

Ответ: 8:27. Проверка здравого смысла: первое ребро короче, чем второе, поэтому и объём первого куба меньше.

Задача 2. Отношение объёмов двух подобных тел равно 125:8. Найти отношение их соответствующих линейных размеров. Здесь известна третья степень коэффициента подобия, поэтому нужно извлечь кубический корень. Важно не переставить тела: объём первого тела стоит первым, значит, и линейный размер первого тела должен стоять первым.

1. Записываем отношение объёмов: V₁/V₂ = 125/8.
2. По теореме k³ = 125/8, следовательно, k = ∛(125/8).
3. Извлекаем корень: k = 5/2, так как 5³ = 125 и 2³ = 8.
4. Проверяем порядок: первое тело имеет больший объём, поэтому и его соответствующие размеры больше.

Ответ: 5:2. Если бы в условии отношение было записано как V₂:V₁, результатом стало бы обратное отношение 2:5.

Задача 3. Модель и реальный объект подобны, масштаб модели по линейным размерам равен 1:50. Во сколько раз объём объекта больше объёма модели? Линейный масштаб показывает отношение длин, а не объёмов. Объект в 50 раз больше модели по каждому соответствующему размеру, поэтому для объёмов требуется третья степень множителя 50.

1. Находим отношение линейных размеров объекта и модели: 50:1.
2. Возводим его в третью степень: Vобъекта/Vмодели = 50³.
3. Вычисляем: 50³ = 125 000.

Ответ: объём объекта больше объёма модели в 125 000 раз. Это не 50 раз: число 50 относится к длинам, а при вычислении объёма учитываются три измерения.

Типичные ошибки

Умножают объём на k или k². Так происходит, когда правило для длины или площади переносят на объём. Проверьте, сколько измерений задают объём: их три, поэтому нужно использовать k³. Полезная проверка: при k = 2 параллелепипед с втрое изменёнными размерами по всем направлениям не становится больше лишь в 2 или 4 раза.

Путают коэффициент подобия с отношением объёмов. Коэффициент сравнивает длины, а отношение объёмов является его кубом; смешение возникает из-за того, что оба числа характеризуют масштаб. Если известен объёмный масштаб, извлеките из него кубический корень, а затем возведите результат в куб для обратной проверки. Например, из отношения 8:1 получается линейный коэффициент 2, а не 8.

Переворачивают отношение. Если k задан как размер первого тела к размеру второго, отношение объёмов также записывается для первого тела к объёму второго. Ошибка возникает при сравнении величин в разном порядке. Перед вычислением подпишите индексы, а после проверьте: большее линейное тело должно иметь больший объём.

Применяют правило к неподобным телам. Изменение одного размера само по себе не означает подобия: остальные размеры могли измениться иначе или не измениться вовсе. Это правило ошибочно принимают за универсальный способ сравнения любых объёмов. Проверьте, что все соответствующие длины относятся с одним коэффициентом; если это не так, формулу V₁/V₂ = k³ применять нельзя.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужны определение подобных фигур, понятие коэффициента подобия и формулы объёмов простейших тел. Правило связано с изменением площадей при подобии: длины изменяются в первой степени коэффициента, площади — во второй, объёмы — в третьей. Оно применяется при расчётах для масштабных моделей, оценке объёмов реальных объектов и решении задач о подобных многогранниках и телах вращения.

Что запомнить

• У подобных тел все соответствующие линейные размеры изменяются в одинаковое число раз.
• Коэффициент подобия относится к линейным размерам, а не непосредственно к объёмам.
• Отношение объёмов подобных тел равно кубу отношения соответствующих линейных размеров.
• Если линейный масштаб равен k, объёмный масштаб равен k³.
• Чтобы найти линейный коэффициент по отношению объёмов, нужно извлечь кубический корень.
• Порядок тел в отношении размеров и в отношении объёмов должен совпадать.