Дополнение к главе VI

Определения и обозначения

Уравнение сферы — запись условия, которому удовлетворяют координаты всех точек сферы. Если центр имеет координаты C(a; b; c), а радиус равен R, уравнение имеет вид (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². По нему можно определить, принадлежит ли точка сфере, и описать её положение в пространстве.

Центр сферы — точка, от которой все точки сферы находятся на одном и том же расстоянии. Его координаты a, b, c задают положение сферы и входят в уравнение как числа, вычитаемые из координат текущей точки. Зная центр, можно, например, найти расстояние от него до плоскости.

Радиус сферы — расстояние от центра до любой точки сферы. Он задаёт размер сферы, а в уравнении стоит его квадрат R², поскольку используется формула для квадрата расстояния. Радиус неотрицателен и вместе с центром полностью определяет сферу.

Уравнение плоскости в прямоугольных координатах записывают как Ax + By + Cz + D = 0. Координаты каждой точки плоскости удовлетворяют этому равенству, а вектор (A; B; C) перпендикулярен плоскости и называется её нормальным вектором. Свободный член D вместе с коэффициентами определяет положение плоскости.

Как это устроено

Формула расстояния между точками (x; y; z) и C(a; b; c) даёт квадрат расстояния (x − a)² + (y − b)² + (z − c)². Для сферы это расстояние должно быть равно R, поэтому после возведения обеих частей в квадрат получаем уравнение сферы. Такой переход удобен: вместо корня в формуле расстояния появляется сумма квадратов, и уравнение становится проще для вычислений.

В прямоугольной системе координат оси взаимно перпендикулярны. Поэтому квадрат длины пространственного отрезка находится сложением квадратов его изменений вдоль каждой из трёх осей. Именно по этой причине в уравнении сферы появляются три квадрата разностей координат; каждый из них учитывает вклад одной оси, а не отдельную фигуру.

В уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 коэффициенты A, B и C образуют вектор n = (A; B; C). Для любого направления, лежащего в плоскости, скалярное произведение этого направления на n равно нулю, поэтому n перпендикулярен плоскости. Чтобы проверить точку, достаточно подставить её координаты: ноль означает, что равенство выполнено и точка принадлежит плоскости.

Взаимное расположение сферы и плоскости определяется расстоянием от центра сферы до плоскости. Если это расстояние меньше радиуса, плоскость проходит через внутреннюю область сферы и пересекает её по окружности. При равенстве получается касание, а при большем расстоянии плоскость проходит за пределами сферы. Расстояние от точки (x₀; y₀; z₀) до плоскости равно |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).

Координатный метод заменяет рассуждения о расположении точек и фигур вычислениями по формулам. Вместо мысленного построения можно проверить равенство или сравнить численные значения. Удобно выбирать начало координат в известной точке, а оси направлять вдоль заметных в задаче перпендикулярных направлений: тогда координаты и уравнения часто становятся проще.

Координатные уравнения сферы и плоскости

Сначала определите, какой объект описывает уравнение, и найдите в нём геометрические данные: центр и радиус либо нормальный вектор. Затем используйте соответствующую строку таблицы для проверки точки или выбора нужной формулы. При сравнении сферы и плоскости дополнительно вычислите расстояние от центра до плоскости.

Разбор задач

Задача 1. Составить уравнение сферы с центром C(1; −2; 3) и радиусом 4. Нужно подставить координаты центра в формулу, сохраняя знаки внутри скобок, а радиус возвести в квадрат. Тогда каждая точка сферы будет находиться от C на расстоянии 4.

1. Записываем общий вид: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
2. Подставляем a = 1, b = −2, c = 3 и R = 4: (x − 1)² + (y − (−2))² + (z − 3)² = 4².
3. Упрощаем знаки и вычисляем квадрат радиуса: (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16.

Ответ: (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16. Проверка подстановкой центра даёт слева 0, поэтому равенство превращается в 0 = 16? Нет: для проверки принадлежности центру на сфере это не требуется, так как центр не лежит на сфере при R > 0. Зато подстановка любой точки на расстоянии 4 даст сумму квадратов 16.

Задача 2. Проверить, лежит ли точка A(2; 1; −1) на плоскости 2x − y + 3z − 1 = 0. Здесь не нужно искать другие точки плоскости или строить её: принадлежность определяется непосредственной подстановкой координат. Если результат левой части будет нулём, точка удовлетворяет уравнению.

1. Подставляем x = 2, y = 1, z = −1: 2 · 2 − 1 + 3 · (−1) − 1.
2. Вычисляем: 4 − 1 − 3 − 1 = −1.
3. Сравниваем с нулём: −1 ≠ 0, значит, уравнение плоскости не выполняется.

Ответ: точка A не лежит на плоскости. Полезно вычислять все слагаемые вместе со знаками: именно подстановка координаты z = −1 часто приводит к ошибке в знаке.

Задача 3. Определить, пересекает ли плоскость x + 2y − 2z + 5 = 0 сферу с центром O(0; 0; 0) и радиусом 2. Для этого найдём расстояние от центра до плоскости и сравним его с радиусом. Так мы выясним, проходит ли плоскость внутри сферы, касается её или находится снаружи.

1. В формуле расстояния от точки до плоскости берём A = 1, B = 2, C = −2, D = 5 и координаты центра (0; 0; 0).
2. Получаем d = |1 · 0 + 2 · 0 − 2 · 0 + 5| / √(1² + 2² + (−2)²) = 5 / 3.
3. Сравниваем: 5 / 3 < 2. Значит, расстояние меньше радиуса, и плоскость пересекает сферу.

Ответ: плоскость пересекает сферу по окружности. Сравнивать следует именно расстояние от центра до плоскости, а не свободный член уравнения с радиусом.

Типичные ошибки

При составлении уравнения сферы иногда записывают справа R, а не R². Это происходит, когда забывают, что формула расстояния содержит корень и после возведения в квадрат радиус тоже возводится в квадрат. Проверь размерность записи и вычисли R² отдельно; например, при R = 4 справа должно стоять 16.

В скобках могут перепутать знаки координат центра: для координаты −2 появляется y − (−2), то есть y + 2. Ошибка возникает из-за того, что знак центра и знак вычитания действуют одновременно. Подставь координаты центра в выражения под квадратами: все разности должны обратиться в ноль.

При проверке точки на плоскости иногда считают, что подходит любое полученное значение левой части. Но уравнение плоскости имеет правую часть, равную нулю, поэтому ненулевой результат означает, что точка не принадлежит плоскости. Пересчитай подстановку и сравни итог именно с нулём, а не просто проверь, что вычисления выполнены.

При сравнении расстояния от центра до плоскости с радиусом можно не различить пересечение, касание и отсутствие общих точек. Если расстояние меньше радиуса, пересечение есть; при равенстве плоскость касается сферы; если расстояние больше радиуса, общих точек нет. Чтобы себя проверить, сначала вычисли расстояние по полной формуле, а затем отдельно сравни его с R.

Связь с другими темами

Для уравнения сферы нужна формула расстояния между точками в пространстве: она превращает геометрическое условие в координатную запись. При работе с плоскостью пригодятся координаты вектора и скалярное произведение: через них объясняется, почему коэффициенты при x, y и z образуют нормальный вектор. Поэтому перед решением полезно уверенно выполнять действия с координатами и векторами.

Уравнения сферы и плоскости позволяют исследовать их взаимное расположение без пространственного чертежа и служат основой аналитической геометрии. Тот же подход применяется в задачах о взаимном расположении плоскостей и других фигур: геометрические условия переводят в уравнения, а затем решают вычислительную задачу. Удобный выбор координат часто упрощает эти вычисления.

Что запомнить

• Сфера с центром (a; b; c) и радиусом R задаётся равенством (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
• Координаты центра при подстановке обращают разности в скобках в ноль; центр при R > 0 сам не лежит на сфере.
• Точка лежит на плоскости тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению плоскости.
• Вектор с координатами коэффициентов при x, y и z перпендикулярен плоскости.
• Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса, плоскость пересекает сферу.
• Если расстояние равно радиусу, плоскость касается сферы; если больше — общих точек нет.