82. Объем шара

Определения и обозначения

Шар — тело, состоящее из точек пространства, удалённых от его центра не больше чем на заданное расстояние. Это расстояние называют радиусом шара. Сфера — только поверхность, ограничивающая шар: она состоит из точек, удалённых от центра ровно на радиус.

Радиус шара — расстояние от центра шара до любой точки сферы; его обозначают буквой R. Все такие отрезки имеют одинаковую длину, потому что сфера задана постоянным расстоянием от центра. Радиус нужен, чтобы определить размер шара и подставить его в формулу объёма.

Объём шара — величина, которая характеризует часть пространства, занимаемую шаром. Его измеряют в кубических единицах: например, в см³ или м³. Кубические единицы связаны с тем, что объём учитывает размеры тела в трёх направлениях.

В формуле говорят об объёме шара, ограниченного данной сферой. Сфера сама по себе является поверхностью и внутреннего пространства не содержит, поэтому её нельзя считать телом с объёмом. Такое различие помогает правильно понимать, к какому объекту относится формула.

Как это устроено

Чтобы найти объём шара, достаточно знать его радиус: все шары с одинаковым радиусом равны, то есть совпадают при перемещении. Если изменить масштаб шара в k раз, каждый его линейный размер изменится в k раз. Поскольку объём учитывает три измерения, он изменится в k³ раз, поэтому формула должна зависеть от куба радиуса.

Идею доказательства можно понять через принцип Кавальери. Он утверждает: если два тела имеют одинаковую высоту и площади их сечений плоскостями на каждой одинаковой высоте равны, то равны и объёмы тел. Для шара удобно сравнить сечения не отдельного тела, а шара и разности цилиндра с двумя конусами. Это превращает сложный расчёт объёма шара в вычисление объёмов знакомых тел.

Возьмём цилиндр радиуса R и высоты 2R, а внутри него — два конуса с общей вершиной в центре цилиндра и основаниями на его торцах. Рассмотрим сечение на расстоянии x от середины: сечение шара — круг радиуса √(R² − x²), его площадь равна π(R² − x²). Сечение цилиндра за вычетом сечения двух конусов имеет площадь πR² − πx², то есть ту же величину. Равенство сечений на всех высотах позволяет применить принцип Кавальери.

Значит, объём шара равен объёму цилиндра минус объём двух конусов. Объём цилиндра равен πR²·2R = 2πR³, а объём каждого конуса — ⅓πR²·R = ⅓πR³. Вычитая объёмы двух конусов, получаем 2πR³ − ⅔πR³ = 4/3·πR³. Так выводится формула V = 4/3·πR³.

В формуле π — постоянное число, а R³ показывает куб радиуса; множитель 4/3 задаёт точное соотношение между объёмом шара и выражением πR³. Если известен объём, равенство можно преобразовать: R³ = 3V/(4π), откуда R = ∛(3V/(4π)). А если радиус увеличился в k раз, новый объём будет в k³ раз больше прежнего, поскольку в формуле изменится именно куб радиуса.

Объём шара: формула и её применение

Если требуется объём, подставьте радиус в первую строку; если радиус — используйте формулу с кубическим корнем. Для сравнения шаров часто достаточно сравнить радиусы и возвести их отношение в куб. Перед вычислением проверьте, что все величины выражены в подходящих единицах.

Разбор задач

Задача 1. Найти объём шара радиуса 3 см. Искомая величина — объём, а радиус уже дан, поэтому используем формулу V = 4/3·πR³. Полученный результат нужно записать в кубических сантиметрах, так как радиус задан в сантиметрах.

1. Подставим R = 3 см: V = 4/3·π·3³.
2. Вычислим куб радиуса: 3³ = 27, поэтому V = 4/3·27π = 36π.
3. Запишем единицы объёма: V = 36π см³.

Ответ: 36π см³.

Задача 2. Объём шара равен 36π см³. Найти его радиус. Здесь известен объём, поэтому удобнее не подбирать радиус, а преобразовать формулу V = 4/3·πR³. После преобразования останется извлечь кубический корень из числа, равного R³.

1. Выразим куб радиуса: R³ = 3V/(4π).
2. Подставим V = 36π см³: R³ = 3·36π/(4π) = 27 см³.
3. Извлечём кубический корень: R = ∛27 = 3 см.

Ответ: 3 см.

Задача 3. Радиус одного шара в 2 раза больше радиуса другого. Во сколько раз различаются их объёмы? Вычислять каждый объём отдельно не нужно: в формуле объёма общий множитель 4/3·π одинаков, а отношение объёмов зависит от куба отношения радиусов.

1. Обозначим меньший радиус R, тогда больший равен 2R.
2. Найдём отношение объёмов: 4/3·π·(2R)³ : (4/3·π·R³).
3. Сократим одинаковые множители и получим 2³ = 8.

Ответ: объём шара с большим радиусом в 8 раз больше.

Типичные ошибки

Подставляют диаметр вместо радиуса. Это происходит, когда известный размер принимают за R, хотя диаметр вдвое больше радиуса. Перед подстановкой обозначьте данный отрезок: если это диаметр d, сначала вычислите R = d/2. Проверка: радиус должен быть меньше диаметра ровно в два раза.

Возводят радиус в квадрат, а не в куб. Квадрат часто встречается в формулах площадей, поэтому его ошибочно переносят в расчёт объёма. Сверьте формулу с записью V = 4/3·πR³ и проверьте размерность: из сантиметров после возведения в третью степень получаются см³. Квадрат дал бы единицы площади, а не объёма.

Забывают множитель 4/3 или π при подстановке значений. Обычно это случается, когда вычисления начинают слишком рано и записывают только часть формулы. Сначала подставьте радиус целиком в V = 4/3·πR³, затем упростите выражение. Для самопроверки убедитесь, что в результате присутствуют оба множителя.

Записывают ответ в квадратных единицах. Путаница возникает потому, что в формуле есть πR², знакомое по площади круга. Но в объёме радиус возводится в куб, поэтому результат измеряется в кубических единицах. Проверьте, что ответ дан, например, в см³, а не в см².

Связь с другими темами

Для вывода формулы используются уже знакомые объёмы цилиндра и конуса, а также площадь круга. Поэтому полезно уверенно находить площадь кругового сечения и понимать, как радиус связан с диаметром. Эти знания помогают проследить, почему сечения сравниваемых тел имеют равные площади.

Формула объёма шара применяется в задачах о телах вращения и при вычислении объёмов частей шара. Она также позволяет сравнивать тела по радиусам без вычисления каждого объёма отдельно. Зависимость от куба радиуса важна и в задачах, где меняется масштаб тела.

Что запомнить

• Объём шара радиуса R равен V = 4/3·πR³.
• В формулу подставляют радиус, а не диаметр.
• Объём шара измеряется в кубических единицах.
• Если радиус увеличить в k раз, объём увеличится в k³ раз.
• Формулу можно преобразовать для нахождения радиуса: R = ∛(3V/(4π)).
• Сферу следует отличать от шара: сфера — поверхность, шар — тело.