83. Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

Определения и обозначения

Шаровой сегмент — часть шара, отсечённая секущей плоскостью. Его высота h — расстояние от плоскости до вершины сегмента, а R — радиус всего шара. Эти обозначения помогают отличить размер отсечённой части от размера исходного шара и правильно выбрать формулу объёма.

Шаровой слой — часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Высотой слоя h называют расстояние между плоскостями, а радиусы окружностей, ограничивающих основания, обозначают r₁ и r₂. Этих данных достаточно, чтобы найти объём слоя, не зная положения центра шара.

Шаровой сектор — тело, ограниченное шаровым сегментом и конической поверхностью, вершина которой находится в центре шара. В формуле его объёма используют радиус шара R и высоту соответствующего сегмента h. Отличие от сегмента существенно: к сектору добавлена область между сферической и конической поверхностями.

Как это устроено

Объём сегмента зависит от высоты отсечённой части и радиуса шара: V = πh²(R − h/3). Высота входит в квадрате, поэтому при её увеличении объём растёт не просто пропорционально: меняется и форма поперечных сечений. Радиус R задаёт масштаб шара, а выражение R − h/3 учитывает, что сегмент сужается к вершине. Например, при h = 0 объём равен нулю, как и должно быть для части нулевой высоты.

Слой удобно представить как разность двух сегментов, отрезанных параллельными плоскостями. Тогда его объём получают, вычитая объём меньшей части из объёма большей, а высоты и радиусы оснований связаны геометрией одного и того же шара. При такой разности радиусы обоих оснований необходимы: они показывают, насколько широко тело у каждой плоскости. Поэтому одного значения h для вычисления объёма слоя недостаточно.

Для шарового слоя формула принимает вид V = πh(3r₁² + 3r₂² + h²)/6. Она получается из разности объёмов сегментов: выражения с радиусом шара сокращаются, а остаются высота слоя и радиусы его оснований. Формула работает и тогда, когда одно основание вырождается в точку: для него нужно положить соответствующий радиус равным нулю. Например, при r₁ = 0 получаем V = πh(3r₂² + h²)/6 — формулу сегмента.

Объём шарового сектора связан с площадью поверхности шара: V = 2πR²h/3. Поскольку площадь сферы равна 4πR², формулу можно записать как V = ½·4πR²·h/3. Это показывает, что при фиксированном шаре объём сектора прямо пропорционален высоте соответствующего сегмента: вдвое большая высота даёт вдвое больший объём сектора. Но сектор не совпадает с сегментом, поэтому формулу сегмента здесь применять нельзя.

Перед вычислением определите, какое тело описано в задаче, и выпишите известные величины с их обозначениями. Для сегмента нужны R и h, для слоя — h, r₁ и r₂, для сектора — R и высота соответствующего сегмента. Если не хватает радиуса основания или высоты, найдите его по дополнительным условиям задачи, например по прямоугольному треугольнику с радиусом шара, расстоянием от центра до плоскости и радиусом основания. Все размеры сначала приведите к одним единицам.

Объёмы частей шара

Сначала найдите в условии название тела, затем сопоставьте известные размеры со вторым столбцом и выберите формулу. Для слоя особенно важно проверить, что заданы именно радиусы обоих оснований, а не радиус шара и радиус основания. Особый случай с нулевым радиусом помогает распознать сегмент как частный случай слоя.

Разбор задач

Задача 1

В шаре радиуса 5 см плоскостью отсечён сегмент высотой 2 см. Найдём его объём. Здесь известны радиус шара и высота сегмента, поэтому подходит формула V = πh²(R − h/3). Подстановка даст объём в кубических сантиметрах.

1. Запишем данные: R = 5 см, h = 2 см.
2. Подставим их в формулу: V = π·2²(5 − 2/3).
3. Вычислим: V = 4π·13/3 = 52π/3 см³.

Ответ: 52π/3 см³. Перед вычислениями полезно проверить, что подставлена высота именно сегмента, а не расстояние от центра до плоскости. Полученное значение приблизительно равно 54,5 см³.

Задача 2

Шаровой слой имеет высоту 3 см, а радиусы его оснований равны 2 см и 4 см. Требуется найти объём слоя. Даны высота и оба радиуса оснований, то есть все величины для формулы слоя. Порядок радиусов не влияет на результат, потому что оба входят в квадрате и складываются.

1. Запишем данные: h = 3 см, r₁ = 2 см, r₂ = 4 см.
2. Используем формулу: V = πh(3r₁² + 3r₂² + h²)/6.
3. Подставим числа: V = 3π(3·2² + 3·4² + 3²)/6.
4. Вычислим: V = 3π(12 + 48 + 9)/6 = 69π/2 см³.

Ответ: 69π/2 см³, или приблизительно 108,4 см³. В скобках сначала складывают квадраты радиусов с коэффициентом 3, а затем добавляют h². Такой порядок уменьшает риск потерять одно из слагаемых.

Задача 3

Радиус шара равен 6 см, высота соответствующего сегмента — 3 см. Найдём объёмы сегмента и сектора, а затем сравним их. Для обоих тел известны нужные размеры, но формулы различаются, поскольку тела ограничены по-разному. Поэтому каждое вычисление выполним отдельно.

1. Для сегмента используем V = πh²(R − h/3): Vсегм = π·3²(6 − 3/3) = 45π см³.
2. Для сектора применим V = 2πR²h/3: Vсект = 2π·6²·3/3 = 72π см³.
3. Сравним результаты: 72π − 45π = 27π см³, значит, объём сектора больше.

Ответ: объём сегмента равен 45π см³, объём сектора — 72π см³; сектор больше на 27π см³. Отношение объёма сектора к объёму сегмента равно 72/45 = 8/5. При сравнении важно не путать названия тел и не переносить формулу одного тела на другое.

Типичные ошибки

Сегмент иногда принимают за сектор, потому что оба тела связаны с одной и той же отсечённой частью шара. Но сегмент ограничен плоскостью и сферической поверхностью, а сектор включает ещё коническую поверхность с вершиной в центре. Проверьте описание границ тела в условии и выберите формулу по ним, а не только по словам «часть шара».

В формулу слоя могут подставить радиус шара вместо радиуса одного из оснований. Это происходит, когда не различают окружность сечения и сферу целиком. Обозначьте радиусы именно двух кругов, ограничивающих слой, и сверьте их с данными задачи; в формуле должны стоять r₁ и r₂.

Высоту сегмента часто путают с расстоянием от центра шара до секущей плоскости. Эти отрезки измеряются в одном направлении, но начинаются в разных точках: высота идёт от плоскости до вершины сегмента. Нарисуйте мысленно или на черновике этот отрезок и проверьте, что он измеряет глубину отсечённой части.

Ещё две частые вычислительные ошибки — забыть кубические единицы и неверно возвести длину в квадрат. Объём складывается из трёх измерений, поэтому ответ должен быть записан, например, в см³, а не в см². Перед подстановкой проверьте квадраты h, r₁ и r₂, а в конце убедитесь, что единицы результата именно кубические.

Связь с другими темами

Для работы с частями шара нужны формулы площади круга и объёма, а также свойства шара и сферы. Например, радиус кругового сечения можно находить из прямоугольного треугольника, где гипотенуза — радиус шара, а катеты связаны с расстоянием от центра до плоскости. Эти знания помогают восстановить недостающие размеры перед вычислением объёма.

Формулы пригодятся в задачах о телах вращения и комбинированных телах, составленных из нескольких простых частей. Если фигуру можно разделить на шаровой сегмент, слой или сектор, её объём находят по частям, а затем складывают или вычитают результаты. Такой подход особенно полезен, когда в одной задаче встречаются несколько разных частей шара.

Что запомнить

• Объём шарового сегмента: V = πh²(R − h/3).
• Объём шарового слоя: V = πh(3r₁² + 3r₂² + h²)/6.
• Объём шарового сектора: V = 2πR²h/3.
• В формуле сегмента R — радиус шара, а h — высота сегмента.
• В формуле слоя r₁ и r₂ — радиусы его оснований.
• Объём измеряется в кубических единицах.