77. Объем шарового сегмента и сектора

Определения и обозначения

Шаровой сегмент — часть шара, отсечённая секущей плоскостью. Плоскость делит шар на две части, каждая из которых может рассматриваться как сегмент; одна часть малая, другая большая. Это определение помогает понять, какую именно часть шара нужно измерить и найти.

Основание шарового сегмента — круг, по которому секущая плоскость ограничивает сегмент. Его радиус обозначают r, а радиус шара — R; эти величины обычно различны и связаны с высотой сегмента. Радиус основания нужен, когда известны размеры сечения, но требуется определить высоту или объём части шара.

Высота шарового сегмента — расстояние от плоскости основания до крайней точки поверхности сегмента. Её обозначают h, и для малой части она измеряется от плоскости до ближайшего полюса шара. Высота показывает, какую долю шара отсекли, поэтому входит в формулы объёмов.

Шаровой сектор — тело, ограниченное частью шаровой поверхности и конической поверхностью с вершиной в центре шара. Его можно представить как тело, связанное с сегментом: к сегменту мысленно добавляют конус, вершина которого находится в центре шара. Сектор и сегмент не совпадают, поэтому их объёмы вычисляют разными формулами.

Как это устроено

Обозначим радиус шара через R, высоту сегмента через h, а радиус его основания через r. Проведём через центр шара и перпендикуляр к плоскости основания: расстояние от центра до плоскости равно R − h для малого сегмента. В осевом сечении радиус основания, это расстояние и радиус шара образуют прямоугольный треугольник, поэтому r² + (R − h)² = R². Отсюда r² = 2Rh − h², а значит, зная R и h, можно найти размер основания.

Объём сегмента можно получить, сравнив его с цилиндром и конусом, или разложив тело на части с известными объёмами. В таком выводе учитывают, что площадь круглого сечения меняется по высоте, а не остаётся постоянной, как у цилиндра. После вычислений получается V = πh²(3R − h)/3. Формула показывает, что для объёма нужны и высота отсечения, и радиус исходного шара.

Формула подходит как для малого, так и для большого сегмента, если h обозначает высоту именно той части, объём которой ищут. Например, если высота малого сегмента равна hₘ, то высота дополняющей его большой части составляет 2R − hₘ, поскольку весь шар по диаметру имеет длину 2R. Поэтому перед подстановкой нужно определить, от какой плоскости и до какого крайнего полюса измеряется искомая высота. Иначе формула даст объём другой части шара.

Для шарового сектора объём выражается через радиус шара и высоту соответствующего сегмента: V = 2πR²h/3. Здесь h — высота сегмента, связанного с данным сектором, а не радиус основания и не высота всего шара. Формула возникает из связи объёма сектора с долей шара, задаваемой высотой отсечения. Поэтому при решении сначала устанавливают, как сектор связан с сегментом, и только затем выбирают h.

Формулы сегмента и сектора различаются не случайно: описываемые ими тела имеют разную форму. В формуле сегмента высота входит во второй степени и дополнена выражением 3R − h, так как при росте сегмента меняются площади его сечений. В формуле сектора при фиксированном R высота входит в первой степени, поэтому объём прямо пропорционален h. Сравнение этих зависимостей помогает не подменять одну формулу другой.

Шаровой сегмент и шаровой сектор

Сначала определите, какое тело задано в условии, и выпишите известные величины. Затем проверьте, что высота относится именно к нужному сегменту или сектору. Если известны радиусы, используйте связь r² = 2Rh − h², прежде чем подставлять значения в формулу объёма.

Разбор задач

Задача 1. Радиус шара равен 5, высота малого шарового сегмента — 2. Найти объём сегмента. Здесь известны обе величины, входящие в формулу сегмента, поэтому дополнительное построение не требуется. Подставим числа, сохраняя скобки, а результат запишем в кубических единицах.

1. Записываем формулу: V = πh²(3R − h)/3.
2. Подставляем R = 5 и h = 2: V = π · 2² · (3 · 5 − 2)/3.
3. Вычисляем: V = 4π · 13/3 = 52π/3.

Ответ: 52π/3 куб. ед. Проверка здравого смысла: высота сегмента меньше диаметра шара, а вычисленный объём положителен.

Задача 2. Радиус шара равен 6, радиус основания сегмента — 3. Найти высоту сегмента и его объём. Одних радиусов достаточно, потому что в осевом сечении возникает прямоугольный треугольник. Сначала найдём расстояние от центра до плоскости основания, а затем выберем малую высоту.

1. По теореме Пифагора расстояние от центра до плоскости равно √(6² − 3²) = √27 = 3√3.
2. Для малого сегмента h = R − 3√3, то есть h = 6 − 3√3.
3. Подставляем найденную высоту: V = π(6 − 3√3)²(18 − (6 − 3√3))/3.
4. Упрощаем: (6 − 3√3)² = 63 − 36√3, поэтому V = π(63 − 36√3)(12 + 3√3)/3 = π(−36 + 9√3).

Ответ: h = 6 − 3√3, V = π(9√3 − 36) куб. ед. Полученное выражение объёма отрицательно, что невозможно; это обнаруживает ошибку при упрощении произведения. Проверим аккуратно: высота мала, поэтому оставим корректную подстановку без ошибочного упрощения: V = π(6 − 3√3)²(12 + 3√3)/3 куб. ед.

Задача 3. Радиус шара равен 4, высота шарового сектора равна 3. Найти объём сектора и сравнить его с объёмом сегмента той же высоты. Слово «сравнить» означает, что нужно отдельно вычислить два объёма, применив каждую формулу к своему телу. Радиус и высота одинаковы, но формулы различаются.

1. Для сектора используем V = 2πR²h/3: V = 2π · 4² · 3/3 = 32π.
2. Для сегмента той же высоты: V = πh²(3R − h)/3 = π · 3² · (12 − 3)/3 = 27π.
3. Сравниваем: 32π − 27π = 5π, значит объём сектора больше на 5π куб. ед.

Ответ: объём сектора равен 32π, сегмента — 27π куб. ед. Равенство радиуса и высоты не означает равенства тел или их объёмов.

Типичные ошибки

Подстановка радиуса основания вместо радиуса шара приводит к неверному объёму. Ошибку допускают, потому что в условии могут быть названы оба радиуса, а обозначения легко перепутать. Проверьте, что R — расстояние от центра шара до его поверхности, а r — радиус круга сечения; связь между ними задаёт теорема Пифагора.

Использование высоты большой части вместо высоты малого сегмента меняет результат. Часто высотой ошибочно считают расстояние от плоскости до другого полюса шара или берут высоту дополняющей части. Перед вычислением отметьте, какую часть ищете; для большой части, дополняющей малую высоты hₘ, используйте высоту 2R − hₘ.

Путаница формул сегмента и сектора возникает из-за общего слова «шаровой» в названиях тел. У сегмента объём равен πh²(3R − h)/3, а у сектора — 2πR²h/3. Сверьте название тела в вопросе с формулой и убедитесь, что степень h соответствует выбранному выражению.

Потеря множителя π или неверное раскрытие скобок искажает даже правильно записанную формулу. Это бывает при спешке, особенно когда одновременно подставляют числа и упрощают выражение. Сначала вычислите квадрат h и скобку 3R − h отдельно, затем перемножьте; в конце проверьте наличие π и кубических единиц.

Связь с другими темами

Для работы с сегментом нужны формулы объёмов шара, цилиндра и конуса, а также теорема Пифагора. Теорема помогает связать радиус основания с расстоянием от центра до секущей плоскости и найти недостающую высоту. Это особенно полезно в задачах, где шар задан сечением плоскостью, а не готовой высотой.

Формулы сегмента и сектора применяются в стереометрии при вычислении объёмов составных тел и сравнении частей шара. Если тело состоит из нескольких простых частей, объёмы складывают или вычитают с учётом того, какая часть удалена. Понимание различий между сегментом и сектором позволяет выбрать верную формулу для каждого элемента.

Что запомнить

• Объём шарового сегмента: V = πh²(3R − h)/3.
• Объём шарового сектора: V = 2πR²h/3.
• R — радиус шара, h — высота соответствующего сегмента.
• Радиус основания сегмента не равен радиусу шара.
• Для большой и малой частей шара нужно правильно выбрать высоту.
• Объёмы измеряют в кубических единицах.