1.1. Угол между касательной и хордой

Определения и обозначения

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Обозначим её A; это точка касания. Радиус OA, проведённый к ней из центра O, перпендикулярен касательной, поэтому образует с ней прямой угол.

Хорда окружности — отрезок, соединяющий две точки окружности; например, AB. Хорда нужна, чтобы задать угол и дугу, о которых говорится в теореме. Диаметр — частный случай хорды, проходящей через центр окружности.

Угол между касательной и хордой образован касательной в точке окружности и хордой, выходящей из этой точки. Например, это угол между касательной в A и хордой AB. Рассматривают угол со стороны соответствующего сегмента — части круга, ограниченной хордой и дугой.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого содержат хорды. Он опирается на дугу, не содержащую его вершину. Такой угол позволяет сопоставить угол между касательной и хордой с другим углом, построенным на той же хорде.

Как это устроено

Пусть касательная касается окружности в точке A, а AB — хорда с концами A и B на окружности. Чтобы сформулировать теорему, выберем вписанный угол с вершиной на окружности в противоположном сегменте: его стороны проходят через A и B. Он опирается на ту же хорду AB. Выбор сегмента не случаен: угол и соответствующая ему дуга должны находиться по разные стороны хорды.

Соединим центр O окружности с точками A и B. Радиусы OA и OB равны, поэтому треугольник OAB равнобедренный, а его углы при основании равны. Кроме того, OA перпендикулярен касательной в A, ведь радиус, проведённый в точку касания, образует с касательной прямой угол. Поэтому угол между касательной и хордой связан с углом OAB как часть прямого угла; это позволяет выразить его через углы треугольника.

Вписанный угол, опирающийся на хорду AB, связан с теми же углами равнобедренного треугольника. Из равенства углов при основании и суммы углов треугольника получается, что величина угла между касательной и хордой равна величине выбранного вписанного угла. Так формулируется теорема о касательной и хорде. Она относится не к любому вписанному углу, а к углу на той же хорде в противоположном сегменте.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Поскольку угол между касательной и хордой равен такому вписанному углу, он также равен половине соответствующей дуги: α = ½m(дуги). Соответствующая дуга лежит в сегменте напротив угла; если угол тупой, это большая дуга, а если острый — малая. Поэтому сначала определяют сам угол и его сторону относительно хорды, а уже затем выбирают дугу.

Теорему можно применять в обе стороны. Если известен вписанный угол, опирающийся на ту же хорду в противоположном сегменте, его величина сразу даёт угол между касательной и хордой; по дуге находят половину её меры. И наоборот, известный угол позволяет определить соответствующую дугу или доказать равенство вписанного угла и угла между касательной и хордой. В доказательстве обязательно указывают, почему углы опираются на одну хорду.

Связь угла между касательной и хордой с дугой и вписанным углом

Сначала определите, какая хорда является общей для углов, а затем проверьте, что вписанный угол расположен в противоположном сегменте. Если дана дуга, выберите ту, которая соответствует рассматриваемому углу, и разделите её меру пополам. Так таблица помогает не перепутать ни углы, ни дуги.

Разбор задач

Задача 1

В точке A окружности проведены касательная и хорда AB. Известно, что вписанный угол, опирающийся на хорду AB в противоположном сегменте, равен 38°. Найдём угол между касательной и хордой AB. В условии уже указан нужный вписанный угол, поэтому можно применить теорему напрямую.

1. Проверяем, на какую хорду опирается вписанный угол: это AB.
2. Убеждаемся, что он расположен в противоположном сегменте, как требуется для теоремы.
3. Приравниваем углы: угол между касательной и AB равен 38°.

Ответ: 38°.

Задача 2

Угол между касательной в точке A и хордой AB равен 52°. Нужно найти меру соответствующей дуги AB. По теореме угол составляет половину меры этой дуги. Важно не взять другую дугу, ограниченную той же хордой: нужна дуга, расположенная напротив рассматриваемого угла.

1. Обозначим меру соответствующей дуги через x.
2. Запишем связь: 52° = ½x.
3. Умножим обе части равенства на 2: x = 104°.
4. Проверим выбор дуги: рассматриваемый угол острый, значит, соответствующая ему дуга малая.

Ответ: 104°.

Задача 3

В окружности с центром O проведены касательная в точке A и хорда AB. Угол OAB равен 34°. Найдём угол между касательной и AB, а затем объясним его связь с вписанным углом. Радиусы OA и OB равны, поэтому сначала используем свойства равнобедренного треугольника OAB.

1. В треугольнике OAB углы при основании равны, поэтому угол OBA тоже равен 34°.
2. Найдём центральный угол: ∠AOB = 180° − 34° − 34° = 112°.
3. Касательная перпендикулярна OA. Следовательно, угол между касательной и AB равен 90° − 34° = 56°.
4. По теореме этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на хорду AB в противоположном сегменте. Можно проверить и по дуге AB: её мера равна 112°, а половина равна 56°.

Ответ: угол между касательной и хордой равен 56°; такой же величины вписанный угол в противоположном сегменте.

Типичные ошибки

Первая ошибка — приравнивать угол между касательной и хордой к любому вписанному углу окружности. Так делают, заметив только, что оба угла относятся к одной окружности, но это недостаточно: они должны опираться на ту же хорду и находиться в нужных сегментах. Перед вычислением назовите общую хорду и проверьте положение вершины вписанного угла.

Вторая ошибка — забывать перпендикулярность радиуса и касательной в точке касания. Без неё нельзя обосновать прямой угол, который часто нужен при вычислениях с треугольником из двух радиусов и хорды. Проверьте, проведён ли радиус именно к точке касания, и только затем используйте угол 90°.

Третья ошибка — брать половину меры не той дуги. Одна хорда ограничивает две дуги, поэтому легко выбрать дугу, которая не соответствует рассматриваемому углу. Найдите положение угла относительно хорды: соответствующая дуга лежит в противоположном сегменте; затем проверьте, согласуется ли её размер с острым или тупым углом.

Четвёртая ошибка — считать угол между касательной и хордой всегда острым. Выбор другой стороны лучей может дать тупой угол, и тогда нельзя без проверки подставлять половину меры малой дуги. В условии или на чертеже уточните, какой именно угол рассматривается, и сопоставьте его с нужной дугой.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужно знать, что такое хорда, касательная и радиус, а также понимать определение вписанного угла. Свойство радиуса, перпендикулярного касательной, помогает связать угол с прямым углом. Если оно забыто, вычислительная часть доказательства может стать непонятной.

Доказательство опирается на равнобедренный треугольник: две его стороны — радиусы одной окружности, поэтому углы при основании равны. Связь вписанного угла с дугой объясняет, почему угол между касательной и хордой равен половине меры соответствующей дуги. Эти идеи соединяют свойства треугольников и окружности.

Теорема пригодится для вычисления углов в окружности и в задачах с касательными и хордами. Ею также доказывают равенство углов, когда они опираются на одну хорду. Умение определить нужный сегмент помогает строить рассуждение без лишних вычислений.

Что запомнить

• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду в противоположном сегменте.
• Угол между касательной и хордой равен половине меры соответствующей дуги.
• При применении теоремы нужно правильно определить соответствующий сегмент и дугу.
• Равенство углов можно использовать и для вычислений, и для доказательств.