85. Угол между касательной и хордой

Определения и обозначения

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называемую точкой касания. Радиус, проведённый к этой точке, перпендикулярен касательной. Это свойство помогает находить углы и доказывать нужные равенства.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. В этой теме один конец хорды совпадает с точкой касания, а сама хорда выходит из неё. Поэтому касательная и хорда имеют общую вершину и образуют углы.

Угол между касательной и хордой — угол с вершиной в точке касания, образованный лучом касательной и хордой. Поскольку касательная — прямая, у неё есть два луча, поэтому вместе с хордой она образует два смежных угла. Для решения задачи нужно выбрать именно тот угол, который указан в условии.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность. Он опирается на дугу, концы которой лежат на сторонах угла. Это понятие связывает угол при касательной с другими углами окружности.

Как это устроено

Пусть A — точка касания, AB — хорда, а O — центр окружности. Проведём радиус OA: он перпендикулярен касательной в A. Так появляется прямоугольный треугольник OAB, где OA и OB равны как радиусы. Равенство этих сторон делает треугольник равнобедренным, а значит, его углы при основании AB равны. Эти связи позволяют сравнить угол между касательной и хордой с углом, опирающимся на ту же хорду.

Теорема утверждает: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду и расположенного по другую сторону от неё. Почему? Возьмём вписанный угол с вершиной C и сторонами CA и CB. В прямоугольном треугольнике OAB углы при основании одинаковы, а угол между OA и касательной равен 90°. Сумма углов треугольника даёт связь между углом касательной с AB и углом AOB; теорема о вписанном угле связывает угол ACB с тем же центральным углом.

Если обозначить угол OAB через α, то второй угол при основании тоже равен α. Угол между касательной и хордой AB, выбранный внутри соответствующей области, равен 90° − α. Центральный угол, опирающийся на меньшую дугу AB, равен 180° − 2α, поэтому половина этого центрального угла тоже равна 90° − α. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального, а значит, совпадает с углом между касательной и хордой. Если AB — диаметр, треугольник OAB вырождается в прямую: радиус лежит на хорде, и угол с касательной равен 90°; соответствующий вписанный угол также прямой.

Угол зависит от того, какой луч касательной выбран. Два угла, образованные касательной и хордой, в сумме дают 180°, поэтому, если один равен α, смежный равен 180° − α. Для них соответствующими будут разные дуги и вписанные углы: нельзя подставлять в теорему величину соседнего угла. Всегда проследи, какая дуга находится внутри рассматриваемого угла.

Связь с дугой получается из теоремы о вписанном угле: его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Поскольку угол между касательной и хордой равен такому вписанному углу, он тоже равен половине соответствующей дуги. Следовательно, если угол равен β, дуга внутри него равна 2β; и наоборот, угол равен половине меры этой дуги.

Угол между касательной и хордой и соответствующие ему величины

Сначала выбери угол, который дан в задаче, и найди строку с нужной величиной. Для вписанного угла значение не меняется, а для дуги угол нужно удвоить. Если рассматривается смежный угол, сначала вычисли его, а затем работай с другой дугой.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Угол между касательной и хордой равен 38°. Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же хорду. Здесь дан уже конкретный угол, поэтому важно не переходить к смежному, равному 142°. По теореме он равен вписанному углу, который опирается на ту же хорду.

1. Обозначим данный угол через α: α = 38°.
2. Выберем вписанный угол с вершиной по другую сторону от хорды и сторонами, проходящими через её концы.
3. Применим теорему: вписанный угол равен α, поэтому он равен 38°.

Ответ: 38°.

Задача 2

Условие. Угол между касательной и хордой равен 54°. Найдите градусную меру дуги, заключённой внутри этого угла. Сначала свяжем данный угол с вписанным: оба опираются на одну хорду. Затем используем свойство вписанного угла, который равен половине дуги.

1. Обозначим угол через α: α = 54°.
2. Соответствующий вписанный угол тоже равен 54° по теореме о касательной и хорде.
3. Мера дуги вдвое больше вписанного угла: 2 · 54° = 108°.

Ответ: 108°.

Задача 3

Условие. Из точки касания проведена хорда. Угол между ней и касательной равен 42°. Найдите второй угол между этой хордой и касательной, а также соответствующие дуги. Нельзя считать оба угла равными 42°: лучи касательной образуют с хордой смежные углы. Дуги для них тоже разные.

1. Первый угол равен 42°, поэтому второй равен 180° − 42° = 138°.
2. Дуга внутри первого угла вдвое больше него: 2 · 42° = 84°.
3. Дуга внутри второго угла вдвое больше 138°: 2 · 138° = 276°.
4. Проверим: 84° + 276° = 360°, то есть получилась полная окружность.

Ответ: второй угол равен 138°; соответствующие дуги равны 84° и 276°.

Типичные ошибки

• Сравнивают угол с произвольным вписанным углом. Теорема работает только для вписанного угла, опирающегося на ту же хорду. Ошибка возникает, когда на чертеже выбирают удобный угол, не проверяя его стороны. Проследи, чтобы стороны вписанного угла проходили через концы данной хорды.

• Путают угол с его смежным углом. У касательной два луча, поэтому с хордой она образует два угла, сумма которых равна 180°. Их часто смешивают, если в условии угол не отмечен на чертеже. Проверь по условию, какой угол задан, и при необходимости вычисли соседний как 180° минус данный.

• Приравнивают угол к градусной мере дуги. Угол равен не всей дуге, а её половине, поэтому дуга в два раза больше угла. Ошибка обычно появляется при переносе значения без применения теоремы о вписанном угле. Проверка простая: умножь угол на 2, чтобы получить соответствующую дугу.

• Не используют перпендикулярность радиуса касательной. Без этого свойства обоснование через треугольник остаётся неполным. Иногда ученик считает угол очевидным по рисунку, хотя чертёж может быть неточным. Проведи радиус к точке касания и явно отметь прямой угол: это позволит обосновать вычисления.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения касательной, хорды, дуги и вписанного угла, а также теорема о вписанном угле. Новое равенство помогает находить углы и дуги, а также доказывать свойства окружности. Доказательство опирается на перпендикулярность радиуса касательной и сумму углов треугольника. Поэтому при решении задач полезно соединять геометрию окружности с уже знакомыми свойствами треугольников.

Что запомнить

• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду.
• Рассматриваемый угол и соответствующая дуга лежат по одну сторону от хорды.
• Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры соответствующей дуги.
• При переходе к смежному углу нужно учитывать другую дугу.