"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Отрезки хорд, секущих и касательных связаны точными равенствами, которые позволяют находить неизвестные длины без измерений. Если две хорды пересекаются внутри окружности, равны произведения частей каждой хорды. Если из одной внешней точки проведены две секущие, равны произведения внешней части на всю секущую; для касательной и секущей квадрат длины касательной равен такому же произведению. Главное — верно распознать расположение прямых и не путать внешнюю часть с полной длиной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Если две хорды пересекаются внутри окружности, точка пересечения делит каждую на две части: например, одну хорду — на отрезки a и b, другую — на c и d. Такое обозначение помогает отдельно записать произведение частей каждой хорды и сравнить их.
Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Если секущая проведена из внешней точки, её внешняя часть лежит от этой точки до ближайшего пересечения с окружностью, а внутренняя часть — между двумя точками пересечения. Вся секущая включает обе части, поэтому при обозначениях x и y её длина равна x + y.
Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называемую точкой касания. Её длину удобно обозначать t. В задачах касательная часто рассматривается вместе с секущей, проведёнными из одной внешней точки, и тогда появляется равенство t² = x · (x + y).
Степень точки относительно окружности — величина, которую можно выразить произведением отрезков секущей, проведённой из этой точки. Для внешней точки это произведение внешней части на всю секущую; при выборе другой секущей из той же точки значение не меняется. Поэтому теоремы об отрезках дают способ находить эту величину, даже если проведены разные секущие.
Когда две хорды пересекаются внутри окружности, на них можно выделить треугольники с общей вершиной в точке пересечения. Углы при этой вершине равны, потому что они вертикальные. Ещё одна пара углов равна: это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Поэтому треугольники подобны, и отношения их соответствующих сторон равны.
Из подобия следует, что отрезки одной хорды соотносятся с соответствующими отрезками другой. После перемножения крайних и средних членов пропорции получается теорема о пересекающихся хордах: если одна хорда разделена на a и b, а другая на c и d, то a · b = c · d. В произведение входят две части каждой отдельной хорды, а не отрезки, выбранные по одному с разных хорд. Именно подобие объясняет, почему равенство работает при любом расположении хорд внутри круга.
Для двух секущих из одной внешней точки можно соединить точки пересечения с окружностью и получить треугольники. У них есть общий угол у внешней точки, а углы у окружности связаны с одной и той же дугой, поэтому подходящие треугольники подобны. Из пропорции сторон получается равенство произведений внешней части на всю секущую: x₁ · (x₁ + y₁) = x₂ · (x₂ + y₂). Внутренний отрезок сам по себе в это произведение не входит: он лишь помогает выразить полную длину.
Если одну из секущих постепенно заменить касательной, две точки её пересечения с окружностью совпадут в точке касания. Соответствующие два отрезка станут равны длине касательной, и их произведение превратится в t · t, то есть t². Поэтому для касательной длины t и секущей с внешней частью x и внутренней частью y верно t² = x · (x + y). Это не отдельное произвольное правило, а предельный случай соотношения для двух секущих.
Перед подстановкой обозначь внешний отрезок буквой x, а внутренний — y; тогда полная секущая равна x + y. Если в условии уже дана вся секущая, используй эту длину целиком и не прибавляй внутреннюю часть повторно. Например, при внешней части 4 и внутренней 7 полная секущая равна 11, а не 7. Такая запись помогает выбрать верное произведение и избежать путаницы даже без точного чертежа.
| Расположение точки и прямых | Равенство отрезков | Когда применять |
|---|---|---|
| Две хорды пересекаются внутри окружности | a · b = c · d | Чтобы связать части двух хорд |
| Из одной внешней точки проведены две секущие | x₁ · L₁ = x₂ · L₂ | Когда известны внешние и полные длины секущих |
| Из одной внешней точки проведены касательная и секущая | t² = x · L | Чтобы связать касательную с внешней и полной частью секущей |
| Как определить нужные отрезки | L = x + y | Чтобы найти всю секущую по внешней и внутренней частям |
В таблице a и b — части одной хорды, c и d — другой, а x обозначает внешнюю часть секущей; L — её полную длину. Сначала найди строку, соответствующую расположению прямых, затем подпиши известные отрезки и только после этого подставляй числа.
Две хорды пересекаются внутри окружности. Части одной хорды равны 3 и 8, а одна часть другой равна 4; требуется найти вторую часть. Здесь точка пересечения находится внутри, поэтому применяем теорему о хордах, а неизвестную часть обозначим x. Из условия получаем равенство произведений 3 · 8 и 4 · x.
Проверка: произведение частей первой хорды равно 24, а второй — 4 · 6 = 24. Ответ: второй отрезок равен 6.
Из внешней точки проведены две секущие. Внешняя часть первой равна 4, её полная длина — 12; внешняя часть второй равна 6. Нужно найти полную длину второй секущей, обозначив её L. Поскольку обе секущие выходят из одной внешней точки, применяем равенство произведений внешней части на всю секущую.
Полученная полная длина больше внешней части 6, как и должно быть. Ответ: длина второй секущей равна 8.
Из внешней точки к окружности проведены касательная длиной 10 и секущая. Внешняя часть секущей равна 4; требуется найти полную длину секущей и её внутреннюю часть. Обозначим полную длину секущей через L, а внутреннюю часть через y. Используем равенство t² = x · L, а затем учтём, что L = x + y.
Проверка: внешняя и внутренняя части дают полную длину 4 + 21 = 25, а 4 · 25 = 100 = 10². Ответ: длина секущей равна 25, её внутренняя часть — 21.
При теореме о секущих иногда умножают внешнюю часть на внутреннюю вместо полной секущей. Так происходит, если не заметить, что в формуле участвует весь путь от внешней точки до дальней точки окружности. Обозначь внешнюю и внутреннюю части отдельно и запиши L = x + y; проверка по смыслу — полная секущая должна быть длиннее каждой из её частей.
В теореме о пересекающихся хордах могут перемножить части разных хорд, например a · c и b · d. Обычно причина — попытка сопоставить отрезки, которые расположены рядом на рисунке. Проверь обозначения: слева и справа должны стоять произведения частей каждой отдельной хорды, то есть a · b = c · d.
Для касательной иногда записывают t = x · L, забывая квадрат длины. Это случается, когда в равенстве не замечают, что касательная играет роль двух равных множителей. Подставь длину касательной два раза: t · t = t²; для проверки сравни размерности — произведение двух длин соответствует квадрату длины.
Уравнение могут составить, не установив, где находится точка пересечения хорд или внешняя точка секущих. Из-за этого выбирают формулу для другой конфигурации и неверно отмечают отрезки. Сначала определи расположение точки относительно окружности и назови прямые; затем подпиши части и выбери соответствующую строку таблицы.
Для доказательства теорем о хордах нужны вертикальные углы и подобие треугольников, поэтому важно уметь находить равные углы и соответствующие стороны. Также пригодятся свойства хорд и касательной: они помогают распознавать нужные точки и отрезки. После освоения равенств можно применять их при нахождении длин и доказательстве новых свойств окружности. Ими же вводят степень точки относительно окружности — величину, одинаковую для секущих, проведённых из одной внешней точки.
Почему произведения отрезков пересекающихся хорд равны?
При пересечении хорд образуются вертикальные углы, а некоторые другие углы равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Поэтому соответствующие треугольники подобны. Из пропорции их сторон следует равенство произведений двух частей одной хорды и двух частей другой.
Как отличить внешнюю часть секущей от всей секущей?
Внешняя часть расположена от внешней точки до первого пересечения секущей с окружностью. Вся секущая идёт от этой точки до второго пересечения и включает внешнюю и внутреннюю части. Поэтому её длина равна сумме этих двух отрезков.
Какую теорему применять, если из точки проведены две секущие?
Если обе секущие выходят из одной точки вне окружности, применяют теорему о двух секущих. Для каждой секущей умножают её внешнюю часть на полную длину. Полученные произведения равны.
Как связаны касательная и секущая, проведённые из одной точки?
Квадрат длины касательной равен произведению внешней части секущей на её полную длину. Это частный случай теоремы о секущих: при переходе к касательной точки пересечения с окружностью совпадают.
Можно ли использовать эти теоремы, если неизвестны несколько отрезков?
Да, равенства можно использовать для составления уравнений с несколькими неизвестными. При этом нужны дополнительные условия, например известная длина всей секущей или связь между её частями. После составления уравнений проверьте, что найденные длины положительны и соответствуют расположению отрезков.
86. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью
