"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Угол может иметь вершину внутри круга или за его пределами, а его стороны при этом пересекать окружность. Такие углы связывают с дугами, заключёнными между сторонами: если вершина внутри, берут половину суммы мер дуг; если вне круга — половину разности большей и меньшей дуг. Эти правила помогают находить углы в задачах с хордами, секущими и касательными и объясняются через теорему о вписанном угле и свойства треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центральный угол — угол с вершиной в центре круга. Его градусная мера равна мере дуги, на которую он опирается. Поэтому центральный угол служит удобным способом измерить дугу: если угол равен 70°, соответствующая дуга тоже равна 70°.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её в других точках. Эти стороны опираются на дугу между точками пересечения, не содержащую вершину угла. Связь вписанного угла с дугой нужна, чтобы перейти от измерения дуги к вычислению углов.
Угол с вершиной внутри круга — угол, вершина которого находится внутри круга, но не в центре, а стороны пересекают окружность. Обычно такой угол возникает при пересечении двух хорд. Его рассматривают вместе с углом, вертикальным ему, чтобы определить две дуги для вычисления.
Угол с вершиной вне круга — угол, вершина которого находится за пределами круга, а стороны пересекают окружность или касаются её. Стороны могут быть двумя секущими либо секущей и касательной. Для такого угла важны две дуги между его сторонами: большая и меньшая.
Пусть две хорды пересекаются внутри круга и образуют угол. Стороны этого угла и стороны вертикального ему угла отсекают две дуги; обозначим их меры m₁ и m₂. Тогда мера внутреннего угла равна (m₁ + m₂) / 2. Дуги складывают, потому что обе части участвуют в образовании угла между пересекающимися хордами: угол не определяется только одной из них.
Формулу можно понять через теорему о вписанном угле, по которой вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Для обоснования проводят вспомогательный отрезок от одной точки пересечения хорды с окружностью к другой. Получившиеся треугольники связывают искомый угол с углами при окружности, а каждый такой угол выражается через соответствующую дугу. При сложении выражений остаётся половина суммы мер двух дуг.
Если вершина находится вне круга, стороны угла ограничивают две дуги: большую с мерой M и меньшую с мерой m. Мера внешнего угла равна (M − m) / 2, где M больше m. Здесь дуги не складывают, потому что одна часть угла как бы «убирает» ту часть, которая соответствует меньшей дуге; итог определяется разницей между дальним и ближним участками окружности.
Формулу для внешнего угла также можно получить, проведя вспомогательный отрезок и рассмотрев треугольник. Его углы выражают через вписанные углы, а значит, через половины соответствующих дуг; при вычитании остаётся половина разности. Большая дуга входит со знаком плюс, а меньшая — со знаком минус, так как именно меньшая дуга отделяет стороны угла ближе к его внешней вершине. Если одна сторона — касательная, рассуждение сохраняется: касательная касается окружности в одной точке, поэтому случай получается как частный вариант.
Главное различие двух случаев — положение вершины относительно окружности. Внутри круга две дуги дают вклад в угол, поэтому их меры складывают и делят на два; снаружи учитывают разницу дуг, поэтому из большей вычитают меньшую и делят на два. Перед вычислением отметьте на чертеже точки пересечения сторон с окружностью и проверьте, какие именно дуги ограничивают выбранный угол. Так проще не перепутать формулы и порядок действий.
| Характеристика | Вершина внутри круга | Вершина вне круга |
|---|---|---|
| Положение вершины | Внутри круга, не в центре | За пределами круга |
| Какие дуги рассматриваются | Дуги между сторонами угла и вертикального ему угла | Большая и меньшая дуги между сторонами |
| Связь меры угла с мерами дуг | Половина суммы мер дуг | Половина разности мер дуг |
| Какую операцию выполнить с мерами дуг | Сложить | Из большей вычесть меньшую |
| Типичный способ доказательства | Теорема о вписанном угле и вспомогательный отрезок | Вписанные углы или вспомогательный треугольник |
Сначала определите по положению вершины, в какой колонке таблицы искать правило. Затем установите, какие дуги соответствуют данному углу, и только после этого выбирайте действие. Для внешнего угла отдельно проверьте, какая дуга больше.
Задача 1. Две хорды пересекаются внутри круга. Меры дуг, заключённых между сторонами одного из образовавшихся углов, равны 110° и 50°. Найдите этот угол.
Задача 2. Из точки вне круга проведены две секущие. Меры большей и меньшей дуг между точками пересечения равны 150° и 70°. Найдите угол между секущими.
Задача 3. Из внешней точки проведены касательная и секущая. Меры дуг, отсекаемых ими, равны 128° и 44°. Найдите угол между касательной и секущей и обоснуйте выбор дуг.
Чтобы работать с дугами, нужно знать, что такое дуга окружности и как задаётся её градусная мера. Теорема о вписанном угле помогает выразить углы через дуги и лежит в основе рассуждений для внутреннего и внешнего случаев. При выводе формул также используют свойства треугольника, в частности связь внешнего угла треугольника с двумя внутренними углами.
Эти правила пригодятся в задачах, где встречаются хорды, секущие и касательные. С их помощью находят углы в конфигурациях с несколькими окружностями и точками пересечения прямых, не измеряя угол непосредственно. Для решения достаточно определить положение вершины и правильно выбрать дуги.
Почему угол с вершиной внутри круга связан с полусуммой дуг?
Его стороны пересекают окружность, поэтому угол вместе с вертикальным углом образует пару углов при пересечении хорд. Если провести вспомогательный отрезок, теорема о вписанном угле выражает части этих углов через соответствующие дуги. При сложении получается половина суммы двух дуг.
Какие именно дуги нужно брать для угла с вершиной внутри круга?
Берут две дуги, заключённые между сторонами данного угла и его вертикального угла. Иными словами, это дуги, соединяющие точки пересечения сторон с окружностью по разные стороны от вершины. Нужно соотнести их именно с выбранным углом, а не брать произвольные дуги.
Почему для угла с вершиной вне круга используют полуразность?
При вершине вне круга угол образован двумя лучами, которые ограничивают большую и меньшую дуги. Вспомогательный треугольник или теорема о вписанном угле показывает, что одна дуга увеличивает угол, а другая соответствует части, которую нужно вычесть. Поэтому берут половину разности большей и меньшей дуг.
Как определить, какую дугу считать большей, если на рисунке она не выделена?
Сравните меры дуг или проследите по окружности, какая из них проходит по более длинной части между нужными точками. Если известна меньшая дуга, большая между теми же концами равна 360° минус её мера. В формуле внешнего угла сначала записывают большую дугу, затем меньшую.
Работает ли теорема о внешнем угле, если одна из прямых является касательной?
Да. Касательная рассматривается как частный случай секущей: она касается окружности в одной точке, а другая прямая пересекает её в двух точках. Для такого внешнего угла также берут половину разности соответствующих большей и меньшей дуг.
87. Углы с вершинами внутри и вне круга
