88. Вписанный четырехугольник

Определения и обозначения

Вписанный четырёхугольник — выпуклый четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Например, если вершины A, B, C и D принадлежат окружности, то ABCD вписан в неё. Это определение помогает понять, почему свойства такой фигуры можно выводить из свойств окружности.

Описанная около четырёхугольника окружность — окружность, проходящая через все четыре вершины четырёхугольника. Для вписанного ABCD её можно обозначить словесно как окружность, описанную около ABCD. Такое название удобно, когда нужно говорить о дугах и углах, опирающихся на них.

Противоположные углы четырёхугольника — пары углов, не имеющих общей стороны: ∠A и ∠C, ∠B и ∠D. В записи ABCD вершины перечислены по порядку, поэтому ∠A и ∠C расположены друг напротив друга. Это различение нужно, чтобы правильно использовать теорему о сумме углов.

Признак вписанного четырёхугольника — условие, по которому можно установить, что данный четырёхугольник является вписанным. Для выпуклого четырёхугольника таким условием служит сумма одной пары противоположных углов, равная 180°. Признак применяют, когда вписанность ещё не дана, но известны углы.

Как это устроено

Обозначим вписанный четырёхугольник ABCD и окружность, на которой находятся его вершины. Тогда углы при A, B, C и D являются вписанными углами, потому что их вершины лежат на окружности, а стороны пересекают её. Пары противоположных углов — ∠A и ∠C, ∠B и ∠D; это важно, поскольку именно их суммы связаны с полным оборотом окружности. Соседние углы имеют общую сторону и в теореме о сумме противоположных углов не используются.

Каждый угол вписанного четырёхугольника выражается половиной дуги, на которую он опирается. Причина в свойстве вписанного угла: его величина равна половине угловой меры соответствующей дуги. Например, ∠A опирается на дугу BCD, не содержащую A, а ∠C — на дугу DAB, не содержащую C. Если обозначить их меры через m(дуга BCD) и m(дуга DAB), то ∠A = ½m(дуга BCD), а ∠C = ½m(дуга DAB).

Две дуги, на которые опираются противоположные углы ∠A и ∠C, вместе составляют всю окружность. Их меры в сумме равны 360°, поэтому сумма половин этих мер равна 180°: ∠A + ∠C = 180°. Аналогично устроена пара дуг для ∠B и ∠D, так что ∠B + ∠D = 180°. Это и есть свойство вписанного четырёхугольника; оно следует не из прямоугольности отдельных углов, а из сложения дуг.

Обратное утверждение доказывают через построение окружности. Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник и ∠A + ∠C = 180°. Проведём окружность через три вершины A, B и D; такая окружность существует, если эти точки не лежат на одной прямой. Если бы C не лежала на ней, то угол между CA и CD, опирающийся на хорду AD, имел бы величину, не согласующуюся с условием ∠A + ∠C = 180° и свойством вписанного угла. Следовательно, C также лежит на этой окружности, а ABCD вписан.

Теорема и обратная ей теорема-признак похожи записью, но применяются в противоположных направлениях. Если уже известно, что четырёхугольник вписан, теорема позволяет заключить, что суммы его противоположных углов равны 180°. Если же дан выпуклый четырёхугольник и известна такая сумма, обратная теорема позволяет доказать его вписанность. Перед применением признака нужно убедиться, что речь идёт о противоположных углах и фигура выпуклая.

Свойства и признак вписанного четырёхугольника

В таблице сначала найди, что дано: вписанность или сумма углов. Если вписанность известна, используй свойство; если известна сумма 180° и четырёхугольник выпуклый, используй признак. Последняя строка помогает быстро получить неизвестный угол вычитанием из 180°.

Разбор задач

Задача 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Найдите ∠C, если ∠A = 68°. Здесь дано, что фигура вписанная, значит, противоположные углы ∠A и ∠C в сумме дают 180°. Нужно найти второй угол этой пары, а не соседний угол.

1. Запишем свойство: ∠A + ∠C = 180°.
2. Подставим известное значение: 68° + ∠C = 180°.
3. Вычтем 68°: ∠C = 180° − 68° = 112°.

Ответ: ∠C = 112°. Проверка проста: 68° + 112° = 180°, условие свойства выполнено.

Задача 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠A = 2x + 10°, ∠C = 3x − 20°. Найдите x и величины этих углов, если четырёхугольник вписан в окружность. Поскольку A и C — противоположные вершины, их углы дополняют друг друга до 180°. После решения уравнения нужно проверить, что найденные углы имеют допустимые значения.

1. Составим уравнение по свойству: (2x + 10) + (3x − 20) = 180.
2. Приведём подобные слагаемые: 5x − 10 = 180, значит, 5x = 190 и x = 38.
3. Найдём углы: ∠A = 2 · 38 + 10 = 86°, ∠C = 3 · 38 − 20 = 94°.
4. Проверим сумму: 86° + 94° = 180°; оба угла положительны и меньше 180°.

Ответ: x = 38, ∠A = 86°, ∠C = 94°. Такая проверка помогает заметить ошибку в вычислениях или неверно составленное уравнение.

Задача 3. Докажите, что около выпуклого четырёхугольника ABCD можно описать окружность, если ∠A + ∠C = 180°. Здесь не сказано, что ABCD уже вписан, поэтому свойство применять в качестве готового вывода нельзя. Условие как раз совпадает с признаком вписанного четырёхугольника.

1. Установим, что ABCD выпуклый; это дано в условии задачи.
2. Сравним данные с признаком: сумма одной пары противоположных углов, ∠A и ∠C, равна 180°.
3. По обратной теореме о вписанном четырёхугольнике заключаем, что все вершины ABCD лежат на одной окружности.

Ответ: около ABCD можно описать окружность, что и требовалось доказать. В доказательстве важно назвать признак и проверить его условие, а не ссылаться только на свойство уже вписанной фигуры.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать соседние углы вместо противоположных. Её допускают, если ориентируются только на расположение букв и забывают, что противоположные углы не имеют общей стороны: для ABCD это A с C и B с D. Проверь себя, мысленно отметив стороны каждого угла: у соседней пары одна сторона общая, у противоположной — нет. Условие суммы 180° для вписанного четырёхугольника относится именно к противоположным углам.

Вторая ошибка — утверждать, что каждый угол вписанного четырёхугольника равен 90°. Путают сумму противоположных углов с величиной отдельного угла, хотя теорема говорит, что до 180° дополняются два угла. Проверь вывод на примере: при ∠A = 68° противоположный угол равен 112°, а не 90°. Значение 90° возможно, но только когда противоположный ему угол тоже равен 90°.

Третья ошибка — применять признак, не проверив выпуклость или выбрав неверную пару углов. Условие признака относится к одной паре противоположных углов выпуклого четырёхугольника, а не к произвольным двум углам. Перед выводом подпиши вершины по порядку и проверь, что сумма составляет именно 180°. Если выпуклость не дана и не доказана, условия теоремы-признака не выполнены.

Четвёртая ошибка — путать вписанный четырёхугольник с описанным около окружности. Названия звучат похоже, поэтому иногда переносят свойства одной фигуры на другую. Проверь, что именно лежит на окружности: у вписанного на ней находятся вершины, а у описанного стороны касаются её. Четырёхугольник может быть вписанным в одну окружность или описанным около другой — это разные отношения.

Связь с другими темами

Для вывода свойства вписанного четырёхугольника нужны свойства вписанного угла и измерение дуг: угол составляет половину дуги, на которую опирается. Также важно знать, что сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна 360°, и уметь различать его противоположные углы. Эти знания помогают проверять, какая пара связана с условием задачи. В дальнейшем свойство и признак используют при доказательствах и решении задач, где требуется установить связь между окружностью и четырёхугольником.

Что запомнить

• Вписанный четырёхугольник имеет все четыре вершины на одной окружности.
• Около вписанного четырёхугольника можно описать окружность.
• Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
• Сумма каждой пары противоположных углов равна 180°.
• Если сумма противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна 180°, то он вписанный.
• Для нахождения неизвестного противоположного угла нужно вычесть известный угол из 180°.
• Не следует смешивать вписанный и описанный четырёхугольники.