1.4. Вписанный четырехугольник

Определения и обозначения

Вписанный четырёхугольник — четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Например, если вершины фигуры обозначены A, B, C и D, каждая из этих точек должна принадлежать окружности. Определение позволяет понять, какую связь между фигурой и окружностью нужно искать в задаче.

Описанная около четырёхугольника окружность — окружность, проходящая через все его вершины. Слово «описанная» здесь указывает, что окружность проходит снаружи фигуры, а её центр и радиус не обязаны совпадать с какими-либо элементами четырёхугольника. Если такая окружность существует, четырёхугольник является вписанным в неё.

Противоположные углы четырёхугольника — это углы при несмежных вершинах, то есть вершинах, не соединённых одной стороной. В ABCD противоположны углы A и C, а также B и D; углы A и B, напротив, смежными вершинами соединены стороной AB. Это различие нужно, чтобы правильно применить свойство суммы углов.

Как это устроено

Вписанный четырёхугольник связан с окружностью через свои вершины: ни одна из них не находится внутри или вне окружности. Каждая сторона соединяет две соседние вершины, поэтому является хордой — отрезком с концами на окружности. Так четырёхугольник делит окружность на дуги, а его углы становятся вписанными углами. Это позволяет использовать свойства окружности для исследования обычной фигуры.

Сумма противоположных углов равна 180° не потому, что они обязательно одинаковы, а потому, что они опираются на дополняющие друг друга дуги. Например, ∠A опирается на дугу BCD, а ∠C — на дугу DAB; вместе эти дуги составляют полную окружность в 360°. Каждая величина угла равна половине соответствующей дуги, значит, сумма углов равна половине от 360°, то есть 180°. Тот же ход рассуждения работает для пары ∠B и ∠D.

Это свойство можно получить непосредственно из теоремы о вписанном угле. Обозначим градусные меры дуг, на которые опираются ∠A и ∠C, через α и γ; тогда ∠A = α/2 и ∠C = γ/2. Дуги дополняют друг друга до окружности, поэтому α + γ = 360°. Складывая выражения для углов, получаем ∠A + ∠C = (α + γ)/2 = 180°; аналогично доказывается равенство для ∠B и ∠D.

Условие о сумме углов работает и в обратную сторону: оно служит признаком вписанного четырёхугольника. Возьмём выпуклый ABCD и проведём окружность через три его вершины, например A, B и D. Такая окружность задаёт положение точки на дуге, с которой виден отрезок BD под углом, дополняющим ∠A до 180°. Если ∠A + ∠C = 180°, вершина C должна находиться именно на этой окружности. Поэтому все четыре вершины оказываются на одной окружности.

Свойство удобно применять, когда фигура уже названа вписанной: по одному углу сразу находят противоположный, а при известных выражениях для углов составляют уравнение. Признак используют, когда вписанность ещё нужно доказать: достаточно проверить сумму одной пары противоположных углов у выпуклого четырёхугольника. Так можно обосновать, что через четыре заданные точки проходит одна окружность, или проверить возможность описать окружность около фигуры.

Свойства и признак вписанного четырёхугольника

Сначала определи, какая пара углов противоположная, и выбери нужную строку таблицы. Для вычисления используй равенство суммы 180°, а для доказательства вписанности — признак, проверив, что четырёхугольник выпуклый. Равенство можно проверить по любой одной паре противоположных углов.

Разбор задач

Задача 1. Вписанный четырёхугольник ABCD: ∠A = 68°. Найдите ∠C. Требуется найти угол, противоположный данному, поэтому не нужно вычислять дуги или остальные углы фигуры. Достаточно применить свойство суммы противоположных углов.

1. Вписанность ABCD означает, что ∠A и ∠C в сумме дают 180°.
2. Запишем равенство: ∠A + ∠C = 180°.
3. Подставим известное значение: 68° + ∠C = 180°, откуда ∠C = 180° − 68° = 112°.

Ответ: ∠C = 112°. Проверка: 68° + 112° = 180°, как и должно быть у противоположных углов вписанного четырёхугольника.

Задача 2. В четырёхугольнике ABCD углы A и C равны 3x + 10° и 5x − 6°. Найдите x и величины этих углов, если четырёхугольник вписанный. Поскольку A и C — противоположные углы, их выражения нужно сложить и приравнять к 180°. Полученное уравнение позволит сначала найти x, а затем вычислить оба угла.

1. Запишем свойство: (3x + 10°) + (5x − 6°) = 180°.
2. Соберём подобные слагаемые: 8x + 4° = 180°, поэтому 8x = 176° и x = 22°.
3. Подставим значение x: ∠A = 3 · 22° + 10° = 76°, ∠C = 5 · 22° − 6° = 104°.

Ответ: x = 22°, ∠A = 76°, ∠C = 104°. Проверяем: 76° + 104° = 180°; значения согласуются со свойством вписанного четырёхугольника.

Задача 3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠A = 74°, ∠C = 106°. Докажите, что около него можно описать окружность. Здесь окружность пока не дана, поэтому нельзя ссылаться на свойство вписанного четырёхугольника как на уже установленный факт. Нужно проверить условие обратного утверждения — признака вписанного четырёхугольника.

1. Найдём сумму противоположных углов A и C: 74° + 106° = 180°.
2. Четырёхугольник по условию выпуклый, а сумма одной пары его противоположных углов равна 180°.
3. По признаку вписанного четырёхугольника около ABCD можно описать окружность.

Ответ: окружность около ABCD описать можно, поскольку выполнено условие признака.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать смежные углы, например ∠A и ∠B, вместо противоположных. Её допускают, когда ориентируются на соседство вершин в записи ABCD, не проверяя, какие углы находятся напротив друг друга. Свойство относится к парам A и C, B и D. Перед вычислением отметь вершины, не соединённые одной стороной.

Вторая ошибка — утверждать, что противоположные углы обязательно равны. Теорема говорит об их сумме, равной 180°, а слагаемые могут иметь разные величины, как 74° и 106°. Путаница может возникнуть из-за особых примеров, где углы случайно равны. Проверка простая: подставь значения и выясни, равна ли 180° именно сумма.

Третья ошибка — применять признак, не убедившись, что четырёхугольник выпуклый. В формулировке признака речь идёт о выпуклом четырёхугольнике, поэтому нельзя пропускать это условие в доказательстве. Иногда нужная сумма углов действительно получается, но остальные условия рассуждения не проверены. В решении сначала укажи выпуклость фигуры, затем используй равенство суммы 180°.

Четвёртая ошибка — считать, что равенства одной пары противоположных углов достаточно для вписанности. Например, ∠A = ∠C само по себе не сообщает, что их сумма равна 180°; оба угла могут быть по 60°. Чтобы применить признак, нужно получить именно ∠A + ∠C = 180° или такую же сумму для пары B и D. Проверь не равенство углов, а их сумму и выпуклость четырёхугольника.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение окружности, понятие хорды и представление о вписанном угле. Особенно важна теорема о величине вписанного угла: угол равен половине дуги, на которую он опирается. Именно через неё объясняется сумма противоположных углов, поэтому без понимания дуг доказательство свойства будет трудно восстановить.

Свойство и признак вписанного четырёхугольника применяют в задачах на окружность, при вычислении углов и доказательстве цикличности четырёх точек. Например, если требуется показать, что четыре точки лежат на одной окружности, можно рассмотреть образованный ими выпуклый четырёхугольник и проверить сумму противоположных углов. Если же окружность уже дана, свойство помогает находить неизвестные углы без построений.

Что запомнить

• Вписанный четырёхугольник имеет все вершины на одной окружности.
• Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
• Для вписанного ABCD: ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.
• Если сумма одной пары противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна 180°, около него можно описать окружность.
• Не путай противоположные углы со смежными.
• Чтобы найти неизвестный угол, противоположный известному, вычти известный из 180°.