1.3. Углы с вершинами внутри и вне круга

Определения и обозначения

Угол с вершиной внутри круга образован двумя хордами, которые пересекаются внутри окружности. Его стороны — лучи этих хорд, выходящие из общей вершины. Для такого угла рассматривают дугу между точками пересечения сторон с окружностью и дугу, заключённую между сторонами вертикального угла; именно их меры складывают при вычислении.

Угол с вершиной вне круга имеет вершину за пределами окружности, а его стороны пересекают окружность. Для вычисления нужны большая и меньшая дуги между точками пересечения сторон с окружностью. Сравнение этих дуг помогает не перепутать порядок вычитания: из большей всегда вычитают меньшую.

Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Если её провести из внешней точки, два луча секущей могут быть сторонами угла с вершиной вне круга. Тогда каждая сторона задаёт точки, по которым определяют дуги для формулы внешнего угла.

Дуга окружности — часть окружности между двумя точками. Одни и те же концы обычно задают меньшую и большую дуги, поэтому при решении нужно уточнить, какая из них соответствует рассматриваемому углу. Для этого отмечают точки пересечения сторон угла с окружностью и смотрят, какие дуги заключены между сторонами.

Как это устроено

Пусть две хорды пересекаются внутри круга и образуют угол. Соединим точку пересечения хорд с концами хорд: на рисунке возникают треугольники, углы которых можно выразить через углы при окружности. По теореме о вписанном угле каждый такой вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Если учесть, что вертикальные углы равны, выражение для внутреннего угла приводит к половине суммы двух дуг: одна лежит между сторонами выбранного угла, другая — между сторонами вертикального ему.

Для угла с вершиной вне круга проведём две секущие и обозначим их точки пересечения с окружностью. Если соединить эти точки, получится треугольник, в котором внешний угол связан с двумя внутренними углами. Каждый из этих углов можно выразить через соответствующую дугу с помощью теоремы о вписанном угле. При вычитании выражений одна дуга входит со знаком плюс, другая — со знаком минус, поэтому внешний угол равен половине разности большей и меньшей дуг.

Если одна сторона внешнего угла касается окружности, рассуждение сохраняется. Касательная касается окружности в одной точке, а вторая сторона-секущая пересекает её ещё в двух; выбранные дуги находятся между точкой касания и точками пересечения секущей с окружностью. Связь касательной и хорды также выражается через половину дуги, поэтому итоговая формула остаётся половиной разности дуг. Это позволяет решать задачу тем же способом, что и для двух секущих.

Перед подстановкой в формулу сначала найдите на окружности все точки пересечения сторон угла. Для внутреннего угла выделите дугу между сторонами этого угла и дугу между сторонами вертикального, а для внешнего — большую и меньшую дуги, связанные с двумя сторонами. Затем проверьте, что для внутреннего случая записана сумма, а для внешнего — разность большей и меньшей. Такая проверка предотвращает ошибку даже тогда, когда на рисунке дуги расположены непривычно.

Эти формулы работают не только для вычисления угла по известным дугам. Если известен угол и одна дуга, можно составить равенство и найти вторую; если обе дуги заданы выражениями, формула даёт уравнение. Внутренний угол задаёт сумму дуг, а внешний — их разность, причём в каждом случае результат делится на два. После решения полезно проверить, что найденные меры дуг допустимы и что внешняя большая дуга действительно больше меньшей.

Углы и дуги окружности

Сначала найдите положение вершины, затем определите, какие стороны образуют угол: хорды, секущие или касательная с секущей. После этого выберите соответствующие дуги и примените нужную формулу. Внутри круга складывают дуги, а для внешнего угла вычитают меньшую из большей.

Разбор задач

1. Две хорды пересекаются внутри круга

Меры дуг, заключённых между сторонами угла и его вертикального угла, равны 86° и 54°. Нужно найти угол между хордами. Так как вершина находится внутри круга, используем половину суммы дуг, а не их разность.

1. Записываем формулу внутреннего угла: α = (дуга₁ + дуга₂)/2.
2. Подставляем данные: α = (86° + 54°)/2 = 140°/2.
3. Вычисляем: α = 70°. Сумма дуг и получившийся угол согласуются с тем, что в формуле результат делится пополам.

Ответ: 70°.

2. Из внешней точки проведены две секущие

Большая дуга между точками пересечения секущих с окружностью равна 148°, меньшая — 52°. Требуется найти угол между секущими. Вершина расположена вне круга, поэтому меньшую дугу вычитаем из большей, а затем делим разность на два.

1. Записываем формулу: α = (дуга большая − дуга меньшая)/2.
2. Подставляем меры дуг: α = (148° − 52°)/2 = 96°/2.
3. Находим угол: α = 48°. Проверяем порядок: 148° больше 52°, значит разность положительна.

Ответ: 48°.

3. Касательная и секущая

Угол между касательной и секущей равен 31°, меньшая соответствующая дуга — 48°. Нужно найти большую дугу. Применим формулу внешнего угла, обозначив большую дугу через x; поскольку она больше 48°, разность запишем как x − 48°.

1. Записываем равенство: 31° = (x − 48°)/2.
2. Умножаем обе части на 2: 62° = x − 48°.
3. Прибавляем 48°: x = 110°. Проверяем: 110° больше 48°, как и должно быть для большей дуги.

Ответ: 110°.

Типичные ошибки

Для внутреннего угла берут разность дуг вместо суммы. Формулы легко спутать, потому что в обеих участвуют две дуги. Проверьте положение вершины: если хорды пересекаются внутри круга, дуги складывают, а затем делят сумму на два.

Для внешнего угла складывают дуги. Иногда ученик переносит правило внутреннего угла на случай, когда вершина расположена снаружи. Чтобы проверить себя, отметьте на окружности большую и меньшую дуги: для внешнего угла нужно получить их разность, причём положительную.

Выбирают не те дуги. Можно заметить подходящие дуги рядом с углом, но взять их не между теми точками пересечения сторон с окружностью. Перед расчётом отметьте все точки пересечения и проследите, какие дуги ограничены соответствующими сторонами; затем сверяйте выбор с положением вершины.

Забывают разделить результат на 2. Причина — привычка связывать угол с дугой по формуле центрального угла, где их меры равны. Здесь используются суммы или разности дуг, а не одна дуга, поэтому после сложения или вычитания обязательно делите на два. Быстрая проверка: найденный угол должен быть половиной полученного результата.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия хорды, секущей, касательной и дуги, а также умение работать с градусными мерами дуг. Важную роль играет теорема о вписанном угле: она связывает угол с половиной дуги и помогает обосновать формулы для вершин внутри и вне круга. Освоенные правила применяются в задачах на вычисление углов и дуг окружности. Они также помогают доказывать геометрические соотношения, когда на чертеже есть несколько хорд, секущих или касательная.

Что запомнить

• Угол с вершиной внутри круга равен половине суммы соответствующих дуг.
• Угол с вершиной вне круга равен половине разности соответствующих дуг.
• Во внешнем угле из большей дуги вычитают меньшую.
• Сначала определяют точки пересечения сторон угла с окружностью, затем выбирают нужные дуги.
• Формулы применимы и тогда, когда одна из сторон внешнего угла является касательной.