"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Хорды, секущие и касательные позволяют находить неизвестные длины в задачах об окружности. Если хорды пересекаются внутри окружности, произведения частей каждой хорды равны. Для секущих, выходящих из одной внешней точки, равны произведения внешней части на всю секущую; квадрат касательной равен такому же произведению для секущей. Эти соотношения возникают из подобия треугольников и помогают составить уравнение по чертежу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пересекающиеся хорды — хорды окружности, имеющие общую внутреннюю точку. Если хорды AB и CD пересекаются в P, их части обозначают PA и PB, PC и PD. Такое обозначение помогает не спутать отрезки: каждая пара частей относится к одной хорде.
Секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух точках. Если она проведена из внешней точки M и пересекает окружность в A и B, отрезок MA называют внешней частью, а MB — всей секущей, если A ближе к M. Различие нужно, чтобы правильно подставлять длины в теорему.
Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку T. Радиус OT, проведённый в эту точку, перпендикулярен касательной. Это свойство помогает распознавать касательную и объясняет прямой угол в доказательствах.
Внешняя точка окружности — точка, лежащая вне круга, то есть за его границей. Из неё можно провести секущую или касательную; иногда из одной точки проводят несколько таких прямых. Положение этой точки определяет, какие соотношения отрезков можно применить.
Пусть хорды AB и CD пересекаются внутри окружности в P. Рассмотрим треугольники APC и DPB: углы APC и DPB равны как вертикальные, а углы PAC и PDB равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Значит, треугольники подобны, и соответствующие стороны дают PA / PD = PC / PB. После перемножения крайних и средних членов получаем PA · PB = PC · PD: произведения частей каждой хорды равны.
Теперь из внешней точки M проведены две секущие, пересекающие окружность в A, B и C, D, где A и C ближе к M. Треугольники MAD и MCB подобны: у них общий угол при M, а углы при точках окружности равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Из подобия следует MA / MC = MD / MB, поэтому MA · MB = MC · MD. Здесь сравниваются произведения внешней части на всю секущую для каждой прямой.
Проведём из точки A касательную AT и секущую, пересекающую окружность в B и C, причём B ближе к A. Треугольники ATB и ACT подобны: угол при A у них общий, а равенство других углов следует из свойства касательной и вписанного угла. Из соответствующих сторон получается AT / AB = AC / AT, то есть AT² = AB · AC. Значит, формула для касательной — частный случай той же связи внешней точки с секущей.
В произведении для секущей второй множитель — не только внутренняя часть, а весь отрезок от внешней точки до дальней точки окружности. Если внешняя часть равна MA, а внутренняя AB, то вся секущая MB = MA + AB. Именно MB появляется в пропорции, полученной из подобия; произведение MA · AB этой пропорции не соответствует и в общем случае неверно.
Чтобы выбрать теорему по чертежу, сначала найдите общую точку прямых и проверьте, находится ли она внутри или вне окружности. Внутри пересекаются две хорды — перемножайте части каждой хорды; снаружи из одной точки выходят секущие или касательная с секущей — используйте внешнюю часть и всю секущую. Затем обозначьте неизвестную и составьте равенство, не забывая представить всю секущую суммой её частей, если она не дана.
| Расположение прямых | Равенство отрезков | Что обозначают отрезки |
|---|---|---|
| Две хорды пересекаются внутри окружности | PA · PB = PC · PD | Части двух хорд, отсчитанные от точки пересечения P |
| Две секущие проведены из одной внешней точки | MA · MB = MC · MD | MA и MC — внешние части; MB и MD — целые секущие |
| Из внешней точки проведены касательная и секущая | AT² = AB · AC | AB — внешняя часть; AC — вся секущая; AT — касательная |
Сначала сопоставьте рисунок с первой колонкой, затем расшифруйте обозначения в третьей и только после этого записывайте формулу. В формулах для секущих один множитель всегда соответствует внешней части, другой — всей секущей.
Задача 1. Две хорды AB и CD пересекаются в точке P. Известно, что PA = 3, PB = 8, PC = 4. Найдите PD. Точка P лежит внутри окружности, поэтому применима теорема о пересекающихся хордах. В уравнение подставляем произведения частей каждой хорды.
Ответ: PD = 6. Проверка проста: произведения частей обеих хорд равны 3 · 8 = 4 · 6 = 24.
Задача 2. Из точки M вне окружности проведены две секущие. На первой внешняя часть равна 4, а вся секущая — 12; внешняя часть второй равна 6. Найдите длину второй секущей. Обе секущие начинаются в одной внешней точке, поэтому их произведения внешней части на всю секущую равны. Обозначим длину второй секущей через x.
Ответ: длина второй секущей равна 8. Полученное значение больше её внешней части 6, что согласуется с тем, что вся секущая включает ещё отрезок внутри окружности.
Задача 3. Из точки A вне окружности проведены касательная AT и секущая: её внешняя часть равна 5, а вся секущая — 20. Найдите AT. Связь касательной с секущей позволяет вместо двух секущих использовать квадрат длины касательной. После подстановки останется извлечь квадратный корень.
Ответ: AT = 10. Проверка подстановкой даёт 10² = 5 · 20, то есть 100 = 100.
В теореме о секущих иногда умножают внешнюю часть на внутреннюю. Ошибка возникает, когда слово «секущая» принимают за часть отрезка внутри окружности, хотя вся секущая тянется от внешней точки до дальней точки пересечения. Проверьте себя: сложите внешнюю и внутреннюю части и убедитесь, что именно их сумма стоит вторым множителем.
В теореме о пересекающихся хордах можно случайно перемножить отрезки разных хорд. Причина — одинаковые буквы или неясные обозначения на чертеже. Обведите мысленно каждую хорду: в одном произведении должны стоять две её части, а во втором — две части другой хорды.
Формулы для двух секущих применяют только тогда, когда обе прямые выходят из одной внешней точки. Если у секущих разные начальные точки, равенство их произведений из этой теоремы не следует. Перед записью формулы отметьте общую внешнюю точку и проверьте, что обе прямые проходят через неё.
При вычислении длины касательной некоторые останавливаются на значении её квадрата или выбирают отрицательный корень. Это происходит, если забыть, что уравнение содержит квадрат, а длина является положительной величиной. Извлеките корень и проверьте результат подстановкой в исходное равенство.
Для доказательств этих соотношений нужны свойства хорд, секущих и касательной, а также признаки подобия треугольников. Полезно уметь находить равные углы: вертикальные, вписанные, опирающиеся на одну дугу, и углы между касательной и хордой. После этого пропорция соответствующих сторон превращается в равенство произведений.
Теоремы пригодятся при вычислении неизвестных длин в окружности и при доказательстве геометрических соотношений. Они связывают несколько отрезков, которые по отдельности могут быть неизвестны, но позволяют составить уравнение по имеющимся данным. Поэтому главное — верно распознать взаимное расположение прямых.
Почему в теореме о секущих берут всю секущую, а не только её часть внутри окружности?
Подобие треугольников приводит к равенству произведения внешней части на расстояние от внешней точки до дальней точки окружности. Это расстояние и есть вся секущая: внешняя часть плюс внутренняя.
Как понять по чертежу, какую из двух теорем об отрезках применять?
Посмотрите, где находится точка пересечения или общая начальная точка прямых. Если две хорды пересекаются внутри окружности, применяйте теорему о хордах; если секущие выходят из одной точки вне окружности, используйте теорему о секущих.
Можно ли применять теорему о пересекающихся хордах, если точка пересечения находится вне окружности?
Нет: теорема о произведениях частей хорд относится к их пересечению внутри окружности. При пересечении прямых вне круга рассматривают секущие, выходящие из одной внешней точки.
Почему квадрат длины касательной равен произведению отрезков секущей?
Треугольники, образованные касательной и секущей, подобны: равенство углов следует из касательного и вписанного углов. Из пропорции соответствующих сторон получается AT² = внешняя часть секущей · вся секущая.
Что делать, если в задаче не указана длина всей секущей?
Выразите всю секущую как сумму внешней и внутренней частей. Например, если внешняя часть равна 4, а внутренняя — x, вся секущая равна 4 + x; затем подставьте это выражение в теорему.
1.2. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью
