§ 1. Углы и отрезки, связанные с окружностью

Определения и обозначения

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её ещё в двух точках. Он стягивает дугу между этими точками, не содержащую вершину угла. По этой дуге можно связать величину угла с центральным углом и найти неизвестную величину.

Угол между касательной и хордой образован касательной к окружности и хордой, выходящей из точки касания. Вершина такого угла находится в точке касания, а его стороны задают дугу окружности. Это определение позволяет применить специальное соотношение углов, даже если вершина не лежит на хорде.

Степень точки относительно окружности — величина, равная произведению внешней части секущей на всю секущую, проведённую через эту точку. Она не меняется при выборе другой секущей из той же точки. Благодаря этому можно сравнивать разные прямые и находить неизвестные отрезки.

Пересекающиеся хорды — хорды, имеющие общую внутреннюю точку. Если точка пересечения делит одну хорду на отрезки a и b, а другую — на c и d, то произведения частей связаны равенством. Обозначения помогают не перепутать, какие отрезки нужно перемножать.

Как это устроено

Связь вписанного и центрального углов объясняется радиусами, проведёнными к концам общей дуги. Они образуют равнобедренные треугольники, потому что каждая пара их сторон — радиусы одной окружности. Из равенства углов при основаниях и суммы углов треугольника следует: вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Поэтому сначала нужно точно определить общую дугу, а не просто сравнивать любые два угла.

У касательной и хорды один конец совпадает с точкой касания, а второй лежит на окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной; этот прямой угол помогает связать угол между касательной и хордой с углами треугольника, образованного радиусами и хордой. В результате угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу внутри рассматриваемого угла. Сравнивать нужно именно углы, связанные с одной и той же дугой.

Пусть две хорды пересекаются внутри окружности. Соединим концы этих хорд так, чтобы получить два треугольника с вершиной в точке пересечения. Их углы при этой вершине равны как вертикальные, а ещё одна пара углов равна как вписанные, опирающиеся на общую дугу. Значит, треугольники подобны; из пропорциональности соответствующих сторон следует, что произведение двух частей одной хорды равно произведению двух частей другой: a · b = c · d.

Из внешней точки проведём две секущие: каждая пересекает окружность в двух точках. Для одной секущей обозначим внешнюю часть x, внутреннюю — u, а для другой — y и v. Треугольники, образованные секущими и отрезком между ближними точками пересечения, подобны: у них есть общий угол, а другие углы связаны с дугами окружности. Из пропорции сторон получается x · (x + u) = y · (y + v), где x + u и y + v — полные длины секущих. Это произведение постоянно для всех секущих из одной точки и называется степенью точки относительно окружности.

Если одна из проведённых из внешней точки прямых касается окружности, она касается её в одной точке, а не пересекает дважды. Это частный случай соотношения для секущих: две точки пересечения сближаются, поэтому два соответствующих отрезка становятся равными длине касательной. Если длина касательной равна t, внешняя часть секущей — x, а вся секущая — L, получаем t² = x · L. Формула позволяет найти касательную или неизвестную часть секущей.

Углы и отрезки, связанные с окружностью

Таблица помогает выбрать нужную формулу по рисунку задачи. Сначала найдите конфигурацию и подпишите известные отрезки, а затем подставляйте их в соответствующее соотношение. Для секущей обязательно сложите внешнюю и внутреннюю части, чтобы получить её полную длину.

Разбор задач

Задача 1. Вписанный угол опирается на дугу, которой соответствует центральный угол 86°. Найдите величину вписанного угла.

1. Выясняем, какие углы сравниваются: вписанный и центральный опираются на одну дугу.
2. По теореме о вписанном угле вписанный угол равен половине центрального. Вычисляем 86° : 2 = 43°.
3. Проверяем смысл результата: вписанный угол меньше центрального в два раза.

Ответ: 43°.

Задача 2. Две хорды пересекаются внутри окружности. Отрезки одной хорды равны 3 и 8, один отрезок другой хорды равен 4. Найдите второй отрезок.

1. Обозначим неизвестную часть второй хорды через x. Так как хорды пересекаются внутри окружности, произведения их частей равны.
2. Записываем уравнение: 3 · 8 = 4 · x. Сначала перемножаем известные части первой хорды: 24 = 4x.
3. Делим обе части равенства на 4: x = 6. Проверка: произведения совпадают, 3 · 8 = 4 · 6 = 24.

Ответ: 6.

Задача 3. Из внешней точки проведены касательная длиной 12 и секущая, внешняя часть которой равна 8. Найдите длину всей секущей и её внутренней части.

1. Пусть длина всей секущей равна L. По теореме о касательной и секущей квадрат касательной равен произведению внешней части на всю секущую.
2. Подставляем данные: 12² = 8 · L, то есть 144 = 8L. Делим на 8 и получаем L = 18.
3. Вся секущая состоит из внешней и внутренней частей. Поэтому длина внутренней части равна 18 − 8 = 10.

Ответ: вся секущая — 18, её внутренняя часть — 10.

Типичные ошибки

Первая ошибка — принять вписанный угол за центральный или решить, что они равны. Это происходит, если не обратить внимания на положение вершины: у центрального угла она в центре, у вписанного — на окружности. Для одной дуги вписанный угол вдвое меньше центрального. Проверьте, где расположена вершина и действительно ли углы опираются на одну дугу.

Вторая ошибка — применить теорему о вписанном угле к углу с вершиной внутри круга или вне окружности. Название угла определяется не только тем, что его стороны пересекают окружность: вершина обязательно должна лежать на окружности. Проверьте положение вершины и точек, где стороны пересекают окружность. Если условия не выполнены, используйте другое соотношение.

Третья ошибка — подставить в произведение для секущих только внутреннюю часть. Её путают с полной длиной, потому что обе лежат на одной прямой. Запишите рядом внешнюю часть x и внутреннюю u, а всю секущую обозначьте x + u. Перед вычислением убедитесь, что в формуле стоит именно полная длина.

Четвёртая ошибка — использовать равенство произведений частей хорд, когда прямые пересеклись вне окружности. Теорема для хорд относится к их общей внутренней точке, расположенной внутри круга. Если точка внешняя, прямые образуют секущие и нужно учитывать внешние части. Проверьте, где находится точка пересечения относительно окружности, прежде чем выбирать формулу.

Связь с другими темами

Для работы с этими соотношениями нужно знать окружность, радиус, хорду, дугу, касательную и центральный угол. Доказательства опираются на свойства углов и подобие треугольников, изученные в планиметрии. Тема помогает разбирать задачи о вписанных многоугольниках: их углы тоже связаны с дугами окружности. Формулы для хорд, секущих и касательных полезны при вычислении длин и в задачах на построение.

Что запомнить

• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на соответствующую дугу.
• Для пересекающихся внутри окружности хорд произведения отрезков равны.
• Для двух секущих из одной внешней точки произведения внешней части на всю секущую равны.
• Квадрат касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую.
• Перед подстановкой в формулу обозначьте внешние и внутренние отрезки на рисунке.