§ 35. Решение треугольников

Определения и обозначения

Решение треугольника — нахождение всех его сторон и углов по заданным элементам. Например, можно знать две стороны и угол или три стороны, а затем вычислить остальные величины. Данные должны однозначно определять треугольник, иначе придётся рассматривать несколько вариантов.

Теорема синусов утверждает, что отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Здесь сторона a лежит напротив угла A, b — напротив B, c — напротив C. Теорема помогает переходить от известных сторон к углам и наоборот.

Теорема косинусов связывает квадрат одной стороны с двумя другими сторонами и косинусом угла между ними: c² = a² + b² − 2ab cos C. Аналогичные формулы получаются циклической заменой букв: a² = b² + c² − 2bc cos A и b² = a² + c² − 2ac cos B. С её помощью находят сторону или угол, когда теоремы синусов недостаточно.

Неоднозначный случай теоремы синусов возникает, когда заданы две стороны и угол, не заключённый между ними. Тогда для неизвестного угла иногда подходят два значения, а значит, могут существовать два разных треугольника. Проверка суммы углов показывает, какие варианты допустимы.

Как это устроено

У треугольника сумма углов равна 180°, поэтому, если известны два угла, третий находится вычитанием их суммы из 180°. Чтобы полностью описать треугольник, достаточно знать его углы и масштаб: одна сторона задаёт масштаб, а остальные стороны определяются углами. На практике можно также считать достаточными две стороны и два угла, если заданные элементы совместимы. Необходимые проверки помогают убедиться, что вычисления описывают настоящий треугольник.

Теорема синусов связывает каждую сторону с углом напротив неё, потому что отношение стороны к синусу этого угла одинаково для всех пар. Геометрически это отношение равно диаметру описанной окружности: a/sin A = 2R, где R — её радиус. Поэтому теорема особенно удобна, когда известна одна пара «сторона — противолежащий угол»: общую величину отношения можно сразу использовать для поиска неизвестного элемента. Сначала важно правильно сопоставить буквы, иначе формула даст неверный результат.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на треугольник, который не обязательно прямоугольный. Если опустить высоту, проекция одной стороны на другую добавит к расчёту слагаемое с косинусом угла между сторонами; так появляется выражение −2ab cos C. При C = 90° косинус равен нулю, и формула превращается в теорему Пифагора. Теорема позволяет найти третью сторону по двум сторонам и углу между ними, а при известных трёх сторонах — выразить косинус любого угла.

Способ решения выбирают по набору известных элементов, чтобы первой формулой связать уже известные величины с нужной неизвестной. При двух углах и стороне сначала находят третий угол, затем применяют теорему синусов. Для двух сторон и угла между ними сначала подходит теорема косинусов, а для трёх сторон — та же теорема, но в форме для косинуса угла. Если сторона и противолежащий ей угол известны, часто удобна теорема синусов.

После вычислений нужно проверить, что каждый угол больше нуля, а их сумма равна 180°. Сторонам и противолежащим углам должно соответствовать одно и то же упорядочение: напротив большей стороны находится больший угол. При неоднозначных исходных данных нельзя останавливаться на первом найденном варианте: нужно проверить каждое допустимое значение угла и исключить то, при котором сумма углов достигает или превышает 180°. Такая проверка обнаруживает и ошибки округления.

Выбор способа решения треугольника

Найдите в таблице строку, соответствующую условию, и начните с указанного способа. Затем используйте сумму углов или вторую теорему, чтобы вычислить оставшиеся величины. Если даны две стороны и угол напротив одной из них, обязательно проверьте несколько возможных значений угла.

Разбор задач

Два угла и сторона

Условие. В треугольнике ABC известны A = 50°, B = 60° и сторона a = 8. Найдите угол C и стороны b и c. Сначала определим третий угол, потому что сумма углов треугольника известна. Затем найдём неизвестные стороны по теореме синусов, используя известную пару a и A.

1. Находим C: C = 180° − 50° − 60° = 70°.
2. По теореме синусов b/sin 60° = 8/sin 50°, поэтому b = 8 sin 60°/sin 50° ≈ 9,04.
3. Аналогично c/sin 70° = 8/sin 50°, откуда c = 8 sin 70°/sin 50° ≈ 9,81.

Ответ: C = 70°, b ≈ 9,04, c ≈ 9,81. Сторона c получилась наибольшей, и напротив неё находится наибольший угол C, что согласуется с условием. В вычислениях использованы градусные значения тригонометрических функций.

Две стороны и угол между ними

Условие. В треугольнике ABC известны a = 7, b = 9 и C = 60°. Найдите c, A и B. Угол C заключён между известными сторонами a и b, поэтому для нахождения противоположной стороны c применима теорема косинусов. После этого найдём один угол по теореме синусов и используем сумму углов.

1. По теореме косинусов c² = 7² + 9² − 2 · 7 · 9 · cos 60° = 49 + 81 − 63 = 67, поэтому c = √67 ≈ 8,19.
2. По теореме синусов sin A/a = sin C/c, значит sin A = 7 sin 60°/√67 ≈ 0,741. Получаем A ≈ 47,8°.
3. Находим оставшийся угол: B = 180° − 60° − 47,8° ≈ 72,2°.

Ответ: c = √67 ≈ 8,19, A ≈ 47,8°, B ≈ 72,2°. Значение A выбрано острым: сторона a меньше стороны b, а угол A должен быть меньше угла B. Проверка суммы углов даёт примерно 180°.

Две стороны и угол напротив одной из них

Условие. В треугольнике известны стороны a = 5, b = 6 и угол A = 30°. Определите все возможные треугольники. Угол A не заключён между данными сторонами, поэтому используем теорему синусов и проверяем оба угла, у которых может быть найденный синус. Это важно: обратная функция синуса даёт острое значение, но дополнительный тупой угол имеет тот же синус.

1. Из теоремы синусов sin B/b = sin A/a, значит sin B = 6 · sin 30°/5 = 0,6.
2. Первое значение: B₁ ≈ 36,87°. Тогда C₁ = 180° − 30° − 36,87° ≈ 113,13°, и треугольник существует.
3. Второе значение: B₂ = 180° − 36,87° ≈ 143,13°. Тогда C₂ = 180° − 30° − 143,13° ≈ 6,87°, поэтому и этот треугольник допустим.
4. Для полноты найдём третью сторону по теореме синусов: c = 5 sin C/sin 30°. Получаем c₁ ≈ 9,17 и c₂ ≈ 1,20.

Ответ: существуют два треугольника: B ≈ 36,87°, C ≈ 113,13°, c ≈ 9,17 либо B ≈ 143,13°, C ≈ 6,87°, c ≈ 1,20. Оба варианта подходят, потому что все углы положительны и в каждом случае их сумма равна 180°.

Типичные ошибки

В теореме синусов иногда сопоставляют сторону с прилежащим к ней углом, а не с противолежащим. Ошибка появляется, когда обозначения сторон и углов не выписаны отдельно. Перед подстановкой проверьте пары a ↔ A, b ↔ B, c ↔ C: буквы должны соответствовать противоположным элементам.

В теореме косинусов могут использовать угол, который не заключён между известными сторонами. Тогда формула применяется не к той конфигурации, и результат не отвечает условию. Проверьте вершину угла: его стороны должны совпадать с двумя известными сторонами. Например, для сторон a и b угол между ними — C.

При нахождении угла по его синусу иногда считают ответ единственным. Но острый угол и дополнительный к нему тупой имеют одинаковый синус, поэтому второй вариант может дать другой треугольник. Проверьте оба значения и оставьте только те, при которых сумма углов меньше 180° и все углы положительны.

Слишком раннее округление промежуточных результатов и невозможное значение косинуса тоже приводят к неверному ответу. Косинус реального угла должен лежать от −1 до 1, а небольшое превышение границ иногда возникает из-за неточных вычислений. Сохраняйте больше знаков до конца и округляйте итог, затем проверьте сумму углов и соответствие сторон углам.

Связь с другими темами

Для решения треугольников нужны сумма его углов, теорема Пифагора, определения синуса и косинуса, а также обратные тригонометрические функции для нахождения угла по значению синуса или косинуса. Теоремы синусов и косинусов применяют в геометрических задачах на расстояния и углы, в прикладных измерениях и при переходе к стереометрии. Теорема синусов связана с окружностью: её расширенная форма a/sin A = 2R включает радиус R описанной окружности.

Что запомнить

• Сумма углов треугольника равна 180°.
• В теореме синусов сторона делится на синус противолежащего угла.
• Теорема косинусов учитывает угол между двумя сторонами.
• По трём сторонам углы находят с помощью теоремы косинусов.
• По двум углам и стороне треугольник решают с помощью суммы углов и теоремы синусов.
• При данных двух сторонах и угле напротив одной из них возможны два решения.
• Результат следует проверять по сумме углов и соотношению сторон и противолежащих углов.