113. Решение треугольников

Определения и обозначения

Решение треугольника — нахождение всех его неизвестных сторон и углов по заданным элементам. Иными словами, нужно восстановить весь треугольник, зная только часть его характеристик. Это позволяет перейти от исходных данных задачи к полному ответу.

Теорема синусов утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон: a / sin A = b / sin B = c / sin C. Здесь a, b, c — стороны, а A, B, C — углы напротив них. Теорема помогает находить неизвестные стороны или углы, когда известна хотя бы одна такая пара.

Теорема косинусов связывает квадрат одной стороны с квадратами двух других сторон и косинусом угла между ними: c² = a² + b² − 2ab cos C. Буква C обозначает угол между сторонами a и b, а сторона c лежит напротив него. Формула нужна, когда одних пар «сторона — противолежащий угол» для решения недостаточно.

Неоднозначный случай решения — ситуация, когда по заданным данным можно построить два разных треугольника. Такое иногда происходит, если известны две стороны и угол, который не заключён между ними. Это определение помогает не остановиться на первом найденном варианте, а проверить, существует ли второй.

Как это устроено

Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому, если известны два угла, третий определяется однозначно: из 180° вычитают сумму известных углов. Это часто становится первым шагом, потому что с тремя углами проще сопоставить стороны и применить нужную теорему.

Теорема синусов связывает каждую сторону с углом, который лежит напротив неё. Например, если известны сторона a и угол A, то отношение a / sin A известно, а такое же отношение можно записать для любой другой пары. Благодаря этому можно найти неизвестную сторону или синус угла, не измеряя их напрямую.

Теорема косинусов нужна в случаях, когда известны две стороны и угол между ними: именно этот угол показывает, насколько стороны направлены друг к другу, и влияет на длину третьей стороны. Если известны все три стороны, по формуле можно найти косинус любого угла, а затем сам угол. Так теорема работает и в обратном направлении.

Выбор теоремы зависит от сочетания данных. Когда есть пара «сторона — противолежащий угол», удобна теорема синусов: она сразу связывает эту пару с неизвестными элементами. При двух сторонах и угле между ними сначала находят третью сторону по теореме косинусов, а при трёх известных сторонах с её помощью находят углы.

После вычислений нужно проверить, что найденные элементы действительно образуют треугольник. Сумма трёх углов должна быть 180°, а большей стороне должен соответствовать больший противолежащий угол. Эти проверки помогают обнаружить ошибку в вычислениях или неверно выбранный вариант угла.

Какие данные даны и как решать треугольник

Сначала найди в таблице строку, которая совпадает с данными задачи. Затем выполни указанный основной шаг и используй найденные элементы, чтобы получить остальные.

Если задан угол напротив одной из известных сторон, проверь, не возникает ли неоднозначность: один и тот же синус может соответствовать двум углам.

Разбор задач

Даны два угла и одна сторона

Дано: A = 30°, B = 60°, сторона a = 5. Нужно найти угол C и стороны b и c. Сначала найдём третий угол, а затем применим теорему синусов, сопоставляя каждую сторону с противолежащим углом.

1. Найдём третий угол: C = 180° − 30° − 60° = 90°. Значит, напротив прямого угла лежит сторона c.
2. По теореме синусов b / sin 60° = 5 / sin 30°. Так как sin 60° = √3 / 2, а sin 30° = ½, получаем b = 5√3.
3. Для стороны c: c / sin 90° = 5 / sin 30°. Поскольку sin 90° = 1, получаем c = 10.

Получили все неизвестные элементы, причём значения сторон соответствуют углам: сторона напротив 90° самая большая. Ответ: C = 90°, b = 5√3, c = 10.

Даны две стороны и угол между ними

Дано: a = 5, b = 7, C = 60°, где C — угол между сторонами a и b. Требуется найти третью сторону c и остальные углы. Начинаем с теоремы косинусов, потому что известны обе стороны, заключающие заданный угол.

1. Запишем формулу: c² = a² + b² − 2ab cos C. Подставим значения: c² = 25 + 49 − 70 · ½ = 39, значит, c = √39.
2. Теперь найдём угол A по теореме синусов: sin A / 5 = sin 60° / √39. Поэтому sin A = 5√3 / (2√39), откуда A приблизительно равен 39,4°.
3. Найдём последний угол: B = 180° − 60° − 39,4° = 80,6°. Сторона b больше стороны a, и угол B тоже больше угла A.

После вычисления стороны используем её вместе с известной парой «сторона — противолежащий угол», чтобы определить оставшиеся углы. Ответ: c = √39, A ≈ 39,4°, B ≈ 80,6°.

Даны две стороны и угол напротив одной из них

Дано: A = 30°, сторона a = 7 напротив угла A, сторона b = 10. Нужно выяснить, сколько треугольников возможно. Здесь угол не находится между известными сторонами, поэтому после применения теоремы синусов следует проверить оба угла, имеющих полученный синус.

1. По теореме синусов sin B / 10 = sin 30° / 7, поэтому sin B = 5 / 7. Этому синусу соответствуют углы B ≈ 45,6° и B ≈ 134,4°.
2. Проверим первый вариант: C = 180° − 30° − 45,6° = 104,4°. Такой треугольник возможен, а сторона c находится из теоремы синусов: c ≈ 9,6.
3. Проверим второй вариант: C = 180° − 30° − 134,4° = 15,6°. Сумма углов меньше 180°, поэтому возможен и этот треугольник; для него c ≈ 3,8.

Оба значения угла дают положительный третий угол, значит, существуют два разных треугольника. Если сумма A и выбранного B достигает или превышает 180°, этот вариант нужно исключить.

Типичные ошибки

В теореме синусов иногда сопоставляют сторону с углом, который не лежит напротив неё. Такую ошибку легко допустить, если записывать обозначения наспех. Проверь, что в отношении a / sin A сторона a и угол A стоят напротив друг друга.

В теореме косинусов могут подставить угол, который не заключён между двумя известными сторонами. Путаница возникает, когда в условии упомянуты несколько углов. Отметь две известные стороны: нужный угол должен находиться именно между ними.

При нахождении угла по синусу часто выбирают только одно значение. Причина в том, что на калькуляторе обычно появляется один результат, хотя тому же синусу может соответствовать и угол 180° минус найденный. Проверь оба варианта по сумме углов и отбрось невозможный.

Ещё одна ошибка — считать приближённое вычисление точным и не проверять весь результат. Округление может немного изменить полученные значения, а неверный выбор угла — привести к невозможному треугольнику. Проверь сумму углов и убедись, что большей стороне соответствует больший противолежащий угол.

Связь с другими темами

Для решения треугольников нужны сумма углов треугольника и свойства равнобедренного треугольника. Также необходимо знать, что означают синус и косинус угла: они входят в формулы и связывают углы с длинами сторон. Эти знания позволяют понять не только порядок действий, но и смысл вычислений.

Теоремы синусов и косинусов помогают находить расстояния и углы, которые нельзя измерить непосредственно. Например, достаточно измерить доступные стороны и угол между ними, чтобы вычислить недоступную длину. Эти способы также пригодятся в следующих геометрических задачах.

Что запомнить

• Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Теорема синусов связывает сторону и противолежащий ей угол.
• Теорема косинусов связывает три стороны и угол между двумя из них.
• Выбирай теорему по тому, какие элементы заданы.
• При данных «две стороны и угол напротив одной из них» возможны два решения.
• Проверяй найденные элементы по сумме углов и соотношению сторон с противолежащими углами.