"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы по известным элементам. Для этого используют теоремы синусов и косинусов, а площадь находят, например, через две стороны и угол между ними. Выбор формулы зависит от того, какие данные известны. Особое внимание нужно уделять соответствию стороны и противолежащего угла: при некоторых наборах данных возможны два разных треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Решение треугольника — нахождение его неизвестных сторон и углов по заданным элементам. Например, если известны две стороны и угол, нужно определить недостающую сторону, остальные углы и, если требуется, площадь. Так можно восстановить весь треугольник по части его данных.
Теорема синусов — соотношение между сторонами треугольника и синусами противолежащих углов: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Здесь сторона a лежит напротив угла A, сторона b — напротив B, сторона c — напротив C. Теорема нужна, когда известна хотя бы одна такая пара и требуется найти другие стороны или углы.
Теорема косинусов связывает квадрат одной стороны с двумя другими сторонами и косинусом угла между ними: c² = a² + b² − 2ab cos C. Угол C находится напротив стороны c, а стороны a и b прилегают к нему. Формула помогает найти сторону по двум другим и углу между ними или угол по трём сторонам.
Формула площади треугольника через две стороны и синус угла между ними имеет вид S = ½ab sin C. В ней a и b — выбранные стороны, а C — угол, заключённый между ними. Она полезна, когда высота неизвестна, но известны две стороны и угол, позволяющий определить высоту через синус.
Чтобы выбрать формулу, сначала обозначь вершины и стороны: сторона с маленькой буквой лежит напротив угла с соответствующей большой буквой. Например, a относится к A, а не к любому углу, который удобно подставить. Такое соответствие важно потому, что в теореме синусов сравниваются именно противолежащие пары. Для теоремы косинусов, наоборот, угол в формуле расположен между двумя сторонами, стоящими рядом с ним.
Теорема синусов позволяет перейти от известной пары к другим элементам, потому что отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх вершин. Если известны сторона a и угол A, то для стороны b можно записать b = a sin B/sin A. А если известны стороны a и b, можно найти sin B = b sin A/a. В последнем случае нужно внимательно проверить возможные значения угла: одинаковый синус имеют углы B и 180° − B.
Теорема косинусов нужна, когда теорема синусов ещё не даёт подходящей известной пары. Например, при известных двух сторонах и угле между ними сначала находят третью сторону, а по трём сторонам можно вычислить угол. Формула обобщает теорему Пифагора: если C = 90°, то cos C = 0, и слагаемое 2ab cos C исчезает. Поэтому для прямоугольного треугольника получается c² = a² + b².
Набор данных достаточен для однозначного решения, если он позволяет определить ровно один треугольник. К таким случаям относятся три известные стороны, две стороны и угол между ними, а также сторона и два угла: третий угол находится из суммы 180°. После этого стороны можно найти по теореме синусов. При любых исходных данных сначала проверь существование треугольника: стороны должны быть положительными, а сумма любых двух сторон — больше третьей.
Неоднозначность возникает, когда заданы две стороны и угол, противолежащий одной из них, а этот угол не заключён между известными сторонами. Теорема синусов может привести к значению sin B, которому соответствуют два угла: острый B и тупой 180° − B. Оба варианта подходят не всегда: оставшийся угол должен быть положительным. Поэтому каждый найденный вариант проверяют по сумме углов, и иногда исходные данные задают два разных треугольника.
| Исходные данные | Основная формула или теорема | Что находят сначала | Что находят затем |
|---|---|---|---|
| Три стороны | Теорема косинусов | Один из углов | Оставшиеся углы |
| Две стороны и угол между ними | Теорема косинусов и формула площади | Третью сторону и площадь | Оставшиеся углы |
| Сторона и два угла | Теорема синусов | Третий угол | Оставшиеся стороны |
| Две стороны и угол, противолежащий одной из них | Теорема синусов с проверкой существования решений | Возможные значения третьего угла или стороны | Окончательные элементы треугольника |
Сначала найди строку, которая соответствует условию задачи, и выполняй действия в указанном порядке. В неоднозначном случае проверь оба возможных угла и оставь только те варианты, при которых сумма углов равна 180°. Последний столбец напоминает, какие элементы ещё нужно вычислить, чтобы треугольник был решён.
В треугольнике A = 40°, B = 70°, сторона a = 6. Найдём угол C и стороны b и c. Сторона a противолежит углу A, поэтому именно эту пару используем как известную в теореме синусов.
Ответ: C = 70°, b ≈ 8,77, c ≈ 8,77. Равенство сторон согласуется с равенством противолежащих им углов.
Даны b = 7, c = 5 и угол A = 60° между этими сторонами. Требуется найти сторону a, углы B и C, а также площадь. Сначала применим теорему косинусов: в этой формуле сторона a лежит напротив известного угла A.
Ответ: a = √39 ≈ 6,24, B ≈ 76,1°, C ≈ 43,9°, S ≈ 15,2. Угол B больше C, и сторона b = 7 больше c = 5, что согласуется с их расположением.
Даны стороны a = 5, b = 6, c = 7. Найдём углы и площадь. Перед вычислениями проверим, что такой треугольник существует: 5 + 6 > 7, 5 + 7 > 6 и 6 + 7 > 5.
Ответ: A ≈ 44,4°, B ≈ 57,1°, C ≈ 78,5°, S = 6√6 ≈ 14,7. Самый большой угол находится напротив самой длинной стороны c = 7.
Путают сторону с противолежащим углом. Ошибку допускают, если ориентируются только на букву или расположение элемента на чертеже. В теореме синусов нельзя сопоставить a с sin B: сторона a лежит напротив A. Перед подстановкой проверь обозначения всех трёх пар.
Ставят неверный знак в теореме косинусов. Вместо вычитания 2ab cos C иногда записывают сложение, особенно когда формулу вспоминают по аналогии с теоремой Пифагора. Правильная запись для стороны c: c² = a² + b² − 2ab cos C. Если C = 90°, дополнительное слагаемое должно обратиться в ноль.
Не проверяют угол, найденный через обратную функцию. Вычисление arcsin может дать один из возможных углов, но не всегда единственный подходящий вариант. Кроме того, найденный угол может сделать сумму углов больше 180°. Подставь ответ в условие и вычисли оставшийся угол; он должен быть положительным.
Считают, что две стороны и один угол всегда задают один треугольник. Это неверно, если угол не находится между заданными сторонами: для одного значения синуса могут подойти острый и тупой углы. Такой вариант решения легко пропустить, если принять первый ответ калькулятора без проверки. Рассмотри оба угла и проверь сумму углов и существование треугольника.
Для решения треугольников нужны обозначения сторон и углов, правило о сумме углов треугольника, а также знания синуса и косинуса. Без понимания того, какой угол лежит напротив стороны, легко неверно применить теорему синусов. Эти понятия помогают связать геометрические данные с вычислениями.
Также важно уметь преобразовывать формулы и находить угол по его синусу или косинусу с помощью обратных тригонометрических функций. В дальнейшем теоремы пригодятся для вычисления расстояний и углов в практической геометрии, тригонометрии и стереометрии. Например, ими можно находить недоступное расстояние по измеренным сторонам и углам.
Как понять, какую теорему использовать при решении треугольника?
Если известны три стороны или две стороны и угол между ними, удобно применять теорему косинусов. Когда известны сторона и противолежащий ей угол, а также другие углы или стороны, обычно используют теорему синусов. Для площади по двум сторонам и углу между ними применяют формулу S = ½ab sin C.
Почему в теореме синусов сторона связана именно с противолежащим углом?
Высота треугольника позволяет выразить её через сторону и синус прилежащего угла. Если провести высоту из вершины, получатся прямоугольные треугольники, в которых синус угла равен отношению высоты к стороне. Приравнивая такие выражения, получают связь каждой стороны с синусом угла напротив неё.
Чем теорема косинусов отличается от теоремы Пифагора?
Теорема косинусов подходит для любого треугольника и учитывает косинус угла между сторонами: c² = a² + b² − 2ab cos C. В прямоугольном треугольнике C = 90°, поэтому cos C = 0, и формула превращается в теорему Пифагора c² = a² + b².
Может ли по заданным двум сторонам и углу получиться два треугольника?
Да, если известный угол не заключён между двумя заданными сторонами, иногда возможны два решения. По теореме синусов для другой вершины могут получиться два подходящих угла: α и 180° − α. Нужно проверить, что вместе с уже известным углом каждый вариант даёт сумму меньше 180°.
Как проверить правильность найденных сторон и углов?
Убедитесь, что все стороны положительны и сумма углов равна 180°. Самая длинная сторона должна лежать напротив самого большого угла, а сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. В конце можно подставить найденные значения в использованные теоремы.
§ 4. Решение треугольников
