"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов: отношение каждой стороны к синусу соответствующего угла одинаково. Это равенство помогает находить неизвестные стороны и углы, а также радиус описанной окружности. Главное — не перепутать пары «сторона — противолежащий угол» и при поиске угла учесть, что одному значению синуса иногда соответствуют два угла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема синусов утверждает: в любом треугольнике отношения сторон к синусам противолежащих углов равны. Иными словами, если разделить каждую сторону на синус угла напротив неё, получится одно и то же число. Это правило позволяет находить элементы треугольника, даже когда привычные теоремы о прямоугольных треугольниках неприменимы.
Сторону, лежащую напротив угла A, обозначают a; напротив B лежит b, а напротив C — c. Слово «противолежащий» означает, что сторона и угол не имеют общей вершины: например, сторона a соединяет вершины B и C. Такое соответствие необходимо сохранять при подстановке в формулу, иначе получится неверная пропорция.
Радиус описанной окружности R — это радиус окружности, проходящей через все три вершины треугольника. Такую окружность называют описанной около треугольника. Радиус нужен, чтобы связать теорему синусов с окружностью: общее значение отношений сторон к синусам равно диаметру этой окружности, то есть 2R.
Основная запись теоремы — a/sin A = b/sin B = c/sin C. Здесь в каждой дроби стоят сторона и синус угла, который лежит напротив неё: a относится к A, b к B, c к C. Равенство говорит, что для всех трёх пар получается один и тот же результат, а значит, можно выбрать удобную пару для вычислений.
Если около треугольника описана окружность радиуса R, теорема принимает вид a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Например, из равенства a/sin A = 2R следует a = 2R·sin A. Поэтому, зная сторону и противоположный угол, можно найти диаметр, а затем радиус описанной окружности.
Причина равенства связана с хордой окружности. Каждая сторона треугольника соединяет две точки описанной окружности, поэтому является её хордой; длина хорды равна удвоенному радиусу, умноженному на синус угла, опирающегося на эту хорду. Для стороны a это даёт a = 2R·sin A, а деление на sin A приводит к отношению 2R. Та же связь действует для двух остальных сторон.
Чтобы найти неизвестную сторону или угол, выберите две дроби, в которых есть нужная величина и известные данные. Например, из a/sin A = b/sin B получаем b = a·sin B/sin A; дроби можно перемножать крест-накрест, сохраняя соответствие сторон и углов. Если ищется угол, сначала найдите его синус, а затем определите подходящий угол с учётом остальных углов треугольника.
Теорема работает и в тупоугольном треугольнике. Тупой угол больше 90°, но меньше 180°, а синус углов в этом промежутке положителен. Геометрическая связь стороны с хордой и описанной окружностью не исчезает, поэтому равенство отношений сохраняется и для тупого угла.
| Сторона | Противолежащий угол | Отношение стороны к синусу угла |
|---|---|---|
| a | A | a/sin A |
| b | B | b/sin B |
| c | C | c/sin C |
| Общее равенство | — | a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R |
Пользуйтесь таблицей, чтобы перед вычислением сверить сторону с углом напротив неё. Для нахождения неизвестной величины достаточно приравнять две подходящие дроби. Последнее равенство также позволяет найти диаметр описанной окружности, если известны сторона и противолежащий угол.
В треугольнике ABC сторона a = 8, углы A = 30° и B = 45°. Найдите сторону b. Угол B противолежит стороне b, поэтому используем именно пару b и B, а для известной стороны — пару a и A.
Запишем равенство теоремы синусов для этих пар: a/sin A = b/sin B.
Выразим b: b = a·sin B/sin A. Подставим значения: b = 8·sin 45°/sin 30°.
Используем sin 45° = √2/2 и sin 30° = 1/2. Тогда b = 8·(√2/2)/(1/2) = 8√2 ≈ 11,3.
Ответ: b = 8√2 ≈ 11,3.
Даны a = 10, b = 6 и A = 30°. Требуется найти возможные значения B. Поскольку известны сторона и противолежащий ей угол, сначала можно найти sin B, а затем проверить углы, соответствующие найденному синусу.
По теореме синусов sin B = b·sin A/a. Подставляем: sin B = 6·sin 30°/10 = 6·0,5/10 = 0,3.
Один угол с таким синусом равен примерно 17,5°. Второй вариант — 180° − 17,5° = 162,5°, поскольку дополнительные углы имеют одинаковый синус.
Проверяем сумму углов. С 17,5° сумма A и B равна 47,5°, поэтому третий угол положителен. С 162,5° сумма уже 192,5° и превышает 180°, значит такой вариант невозможен.
Ответ: B ≈ 17,5°.
Даны a = 7, b = 9 и A = 40°. Нужно определить возможные значения B и проверить, существует ли треугольник. Как и в предыдущей задаче, уравнение сначала даст синус угла, но проверять следует оба возможных угла.
Находим sin B = b·sin A/a = 9·sin 40°/7 ≈ 0,8265.
Первый угол B ≈ 55,7°. Второй возможный угол равен 180° − 55,7° = 124,3°.
Проверяем сумму с A = 40°. В первом случае третий угол равен примерно 84,3°, во втором — примерно 15,7°. Оба значения положительны, следовательно, оба варианта образуют треугольник.
Ответ: B ≈ 55,7° или B ≈ 124,3°; треугольник существует в обоих случаях.
Сторону иногда сопоставляют не с противолежащим, а с прилежащим углом. Это происходит, когда ориентируются только на буквы в условии и не смотрят на расположение элементов. Проверьте, что a соединяет вершины B и C и лежит напротив A; аналогично проверьте пары b и B, c и C.
Другая ошибка — записать sin A/a вместо a/sin A или поменять местами лишь отдельные дроби. В одной пропорции можно перевернуть все дроби одновременно, но нельзя менять только одну: равенство тогда нарушится. Перед преобразованием сверяйте исходную запись, а после подстановки проверьте, что стороне соответствует синус угла напротив неё.
При поиске угла по синусу часто берут только ответ калькулятора и забывают о дополнительном угле. Причина в том, что функция обратного синуса обычно выдаёт лишь острый угол из своего основного промежутка. Найдите также 180° минус полученный угол и проверьте, не превышает ли сумма углов треугольника 180°.
Наконец, калькулятор может быть настроен на радианы, хотя углы в задаче заданы в градусах. Тогда даже правильно введённое значение синуса окажется неверным. Перед вычислениями проверьте режим DEG для градусов; если вычисляете в радианах, предварительно переведите углы в радианы.
Для применения теоремы синусов нужны сумма углов треугольника, понимание синуса угла и обозначения сторон и противоположных им углов. Эти знания помогают выбрать нужные величины и проверить, допустим ли найденный угол. Теорема пригодится при решении треугольников, вычислении радиуса описанной окружности и нахождении расстояний в геометрических задачах.
Почему сторона делится именно на синус противолежащего угла?
Сторона треугольника является хордой описанной окружности, а её длина выражается через радиус и синус угла, опирающегося на эту хорду. Поэтому отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности.
Можно ли применять теорему синусов в тупоугольном треугольнике?
Да, теорема верна для любого треугольника. Синус тупого угла положителен, поэтому равенство отношений сохраняется.
Как найти сторону треугольника, если известны угол и другая сторона с противолежащим углом?
Запишите отношение каждой известной стороны к синусу её противолежащего угла и приравняйте эти отношения. Затем выразите неизвестную сторону, например b = a·sin B/sin A.
Почему при нахождении угла по синусу иногда получаются два ответа?
Углы, сумма которых равна 180°, имеют одинаковые синусы. Поэтому найденному значению синуса могут соответствовать острый и тупой углы; нужно проверить, подходит ли каждый из них по сумме углов треугольника.
Что означает число 2R в записи теоремы синусов?
R — радиус окружности, проходящей через все вершины треугольника, то есть описанной окружности. Число 2R — её диаметр, и оно равно каждому отношению стороны к синусу противолежащего угла.
§ 3. Теорема синусов
