111. Теорема синусов

Определения и обозначения

Стороны треугольника обычно обозначают строчными буквами a, b, c, а углы — прописными A, B, C. Буквы выбирают так, чтобы сторона a лежала напротив угла A, сторона b — напротив B, а сторона c — напротив C. Такое соответствие нужно помнить при подстановке чисел в теорему. Оно помогает не перепутать, какой угол брать для каждой стороны.

Синус угла — число, которое связывает угол с отношением длин в прямоугольном треугольнике. Для острого угла синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В теореме синусов он связывает сторону треугольника с углом напротив неё. Синус внутреннего угла треугольника всегда положителен, даже если угол тупой.

Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три его вершины. Для любого треугольника такую окружность можно провести, и её центр равноудалён от вершин. Радиус этой окружности обозначают буквой R. Он понадобится в формуле теоремы синусов.

Теорема синусов утверждает, что отношения каждой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равны. Например, стороне a соответствует sin A, а не синус одного из углов при её концах. Общее значение этих отношений связано с радиусом описанной окружности. Благодаря этому равенству можно переходить от известных сторон и углов к неизвестным.

Как это устроено

Теорема синусов записывается так: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R. Здесь R — радиус описанной окружности, а 2R — её диаметр. Каждая дробь связывает сторону с углом, который лежит напротив неё. Равенство говорит, что все три отношения имеют одно и то же значение.

Чтобы понять связь стороны и синуса, представим окружность, описанную около треугольника ABC. Сторона BC является хордой этой окружности, то есть отрезком, соединяющим две точки окружности. Угол A опирается на хорду BC: его стороны проходят через точки B и C. Поэтому длина BC связана с радиусом окружности и синусом угла A.

Пусть O — центр описанной окружности, а M — середина хорды BC. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому BM = a / 2. В прямоугольном треугольнике OBM радиус OB равен R, а угол при вершине B связан с углом A; из определения синуса получается половина хорды, равная R sin A. Значит, a / 2 = R sin A и a = 2R sin A. Для тупого A используется равенство sin A = sin (180° − A), поэтому формула остаётся верной.

Делим равенство a = 2R sin A на sin A и получаем a / sin A = 2R. Аналогично для двух других сторон: b = 2R sin B и c = 2R sin C. Поэтому во всех трёх отношениях появляется одно и то же число — диаметр описанной окружности. Именно так получается общая формула теоремы.

Чтобы найти неизвестную величину, выбери из общего равенства две дроби, в которых есть нужная величина и известные данные. Например, при поиске стороны b можно приравнять a / sin A и b / sin B, затем умножить обе части на sin B. Если неизвестен угол, сначала выражают его синус, а затем находят угол по известному значению синуса. Проверяй, что каждую сторону сопоставил именно с противолежащим углом.

Равенство a / sin A = 2R позволяет найти радиус, если известны сторона и угол напротив неё. Умножим обе части на sin A и разделим на 2: R = a / (2 sin A). Например, если известны a и A, дополнительных сторон для нахождения радиуса не требуется. Так теорема связывает измерения самого треугольника с размером окружности вокруг него.

Соответствие сторон и противолежащих углов в теореме синусов

Сначала найди в таблице сторону и угол напротив неё, затем выпиши соответствующее отношение. Для сравнения сторон выбирай строки с известными данными и неизвестной величиной. Если нужно найти радиус, используй последнюю колонку.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC известны сторона a и углы A и B. Найти сторону b. Здесь стороны a и b сопоставляются с углами A и B, поэтому можно составить равенство двух отношений. Угол B нужен именно потому, что он противолежит стороне b.

1. Запишем равенство по теореме синусов: a / sin A = b / sin B. В нём известны a, A и B, а неизвестна только сторона b. Это подходящая пара отношений.

2. Умножим обе части равенства на sin B, чтобы оставить b отдельно: b = a · sin B / sin A. Умножение обеих частей на одно и то же число сохраняет равенство. Подставим данные, если они заданы числами.

3. Вычислим полученное выражение и запишем длину стороны в тех же единицах, что и a. Перед вычислением убедимся, что углы берутся в одном и том же режиме калькулятора. Ответ: b = a · sin B / sin A.

Задача 2. Известны две стороны треугольника и угол, лежащий напротив одной из них. Нужно найти синус угла, лежащего напротив второй стороны. Обозначим известную сторону через a, её противолежащий угол через A, а вторую сторону и угол — через b и B. Так мы сразу фиксируем правильные пары.

1. Запишем равенство a / sin A = b / sin B. Одна пара полностью известна, а во второй известна сторона b и требуется sin B. Так теорема связывает все нужные данные.

2. Перемножим крест-накрест: a · sin B = b · sin A. Теперь разделим обе части на a и получим sin B = b · sin A / a. При таком преобразовании важно выполнять одинаковые действия с обеими частями равенства.

3. Подставим известные значения и вычислим синус. Проверим, что результат находится между 0 и 1, как должен синус внутреннего угла. Ответ: sin B = b · sin A / a.

Задача 3. Известны сторона и противолежащий ей угол; требуется найти радиус описанной окружности, а затем по другой стороне — синус противолежащего угла. Пусть известны a и A, а также сторона b. Последовательно используем равенства с одним и тем же радиусом.

1. Из a / sin A = 2R выразим радиус: R = a / (2 sin A). Подставим известные значения a и A. Здесь обязательно делить на 2 sin A, потому что отношение равно диаметру, а не радиусу.

2. Для второй стороны запишем b / sin B = 2R. Подставим найденный радиус и получим sin B = b / (2R). Теперь в правой части известны b и R.

3. Вычислим значение и проверим, что оно не больше 1 и не меньше 0. Если оно выходит за эти границы, нужно проверить вычисления и соответствие стороны углу. Ответ: R = a / (2 sin A), sin B = b / (2R).

Типичные ошибки

Первая ошибка — сопоставить сторону с прилежащим, а не противолежащим углом. Так происходит, если смотреть только на углы при концах стороны и забыть обозначения. Проведи мысленно линию от вершины угла: сторона напротив неё и образует нужную пару. Быстрая проверка: a соответствует A, b — B, c — C.

Вторая ошибка — записать a / sin A = R вместо a / sin A = 2R. Ученик может забыть, что длина хорды получается удвоением половины хорды. Проверь формулу: сторона равна 2R sin соответствующего угла. Значит, после деления на синус остаётся 2R, то есть диаметр окружности.

Третья ошибка — перевернуть только одну дробь при преобразовании равенства. Например, из a / sin A = b / sin B нельзя просто заменить одну дробь на обратную и считать равенство сохранённым. Выполняй одно и то же действие с обеими частями или аккуратно перемножай крест-накрест. Проверка подстановкой простых чисел помогает заметить неверный переход.

Четвёртая ошибка — считать синус тупого угла отрицательным. Это неверно: тупой внутренний угол меньше 180°, а его синус равен синусу дополнительного острого угла. Поэтому синус любого внутреннего угла треугольника положителен. Если при расчёте получился отрицательный синус, проверь, не допущена ли ошибка со знаком или с преобразованием.

Связь с другими темами

Для применения теоремы нужны обозначения сторон и углов треугольника: без них легко перепутать соответствующие пары. Её геометрическое объяснение опирается на свойства вписанных углов и описанной окружности, а также на связь хорды с радиусом. Теорема пригодится при решении треугольников, когда требуется находить неизвестные стороны и углы. По ней также находят радиус описанной окружности.

Что запомнить

• Каждой стороне соответствует противолежащий угол.
• a / sin A = b / sin B = c / sin C.
• Общее значение отношений равно 2R.
• R — радиус описанной окружности треугольника.
• Для поиска неизвестной величины выбирают две подходящие пары «сторона — угол».
• Внутренние углы треугольника имеют положительные синусы.