"Геометрия", Погорелов А.В.
Внутри одного треугольника величина угла связана с длиной стороны напротив него: большему углу соответствует большая сторона, а равным углам — равные стороны. Это правило работает и в обратную сторону: сравнив стороны, можно сравнить противолежащие углы. Оно помогает упорядочивать углы и стороны без точных вычислений и служит основой для дальнейшего изучения свойств треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Противолежащая сторона треугольника — сторона, лежащая напротив данного угла. В треугольнике ABC напротив угла A находится BC, напротив B — AC, напротив C — AB. Для краткости эти стороны часто обозначают соответственно a, b и c. Такое соответствие нужно запомнить, чтобы не сравнивать угол со стороной, которая его образует.
Больший угол треугольника — угол, величина которого больше величин двух других углов этого треугольника. Например, если ∠A больше и ∠B, и ∠C, то A — наибольший угол. Сравнивать углы можно по их градусным мерам или по заданным отношениям. Это определение помогает понять, какой угол соответствует самой длинной стороне.
Большая сторона треугольника — сторона, длина которой больше длин двух других сторон. Если BC длиннее AC и AB, то BC — наибольшая сторона, или сторона a. Сравнивая длины, мы определяем порядок сторон, но для связи со сторонами нужно каждый раз найти противолежащие углы. Так можно перейти от известной информации о сторонах к сравнению углов.
Главное правило таково: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот. Если ∠A > ∠B, то сторона напротив A длиннее стороны напротив B: BC > AC, то есть a > b. Обратное тоже верно: если a > b, то ∠A > ∠B. Речь всегда идёт о паре угол–сторона внутри одного и того же треугольника.
Почему больший угол связан с большей стороной? Представьте, что из вершины угла выходят два луча, а до противоположной стороны нужно дойти от вершины треугольника. Чем шире угол, тем дальше оказываются точки на его лучах при одинаковом расстоянии от вершины. В геометрическом доказательстве это рассуждение оформляют с помощью вспомогательной точки: строят треугольник с равными углами или сторонами и используют неравенство треугольника. Оно показывает, что сторона напротив большего угла не может быть равной или меньшей стороне напротив меньшего угла.
Обратное утверждение объясняется тем же правилом, но рассуждение начинают со сторон. Если одна сторона длиннее другой, предположим, что противолежащий ей угол не больше. Тогда по правилу для углов сторона напротив него должна быть не длиннее второй стороны. Получается противоречие с условием. Значит, напротив большей стороны действительно находится больший угол.
Если два угла равны, то противолежащие им стороны равны. И наоборот, равным сторонам противолежат равные углы. Это следует из того же соотношения: при неравных сторонах углы тоже должны быть неравны, причём в том же порядке. Поэтому одинаковые углы не могут находиться напротив разных по длине сторон, а равные стороны — напротив разных по величине углов.
Правило позволяет сравнивать элементы без вычисления их точных величин. Если известно, что ∠A больше ∠B, достаточно сопоставить их с BC и AC, чтобы заключить BC > AC. Если даны длины сторон, сравните их и перейдите к углам напротив. Когда сравнение не дано напрямую, но известны углы, можно использовать сумму углов треугольника: она равна 180°. Так, найдя третий угол, можно определить порядок всех углов и сторон.
| Сравнение углов | Сравнение противолежащих сторон | Обратное утверждение |
|---|---|---|
| ∠A > ∠B | a > b | Если a > b, то ∠A > ∠B |
| ∠A = ∠B | a = b | Если a = b, то ∠A = ∠B |
| ∠A < ∠B | a < b | Если a < b, то ∠A < ∠B |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала проверьте обозначения: a находится напротив A, b — напротив B. Затем найдите строку с известным сравнением и перенесите знак сравнения на соответствующие элементы. В обратном утверждении начинайте со сторон и определяйте углы, лежащие напротив них.
Задача 1. В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠B = 50°. Сравните стороны BC и AC. Сторона BC лежит напротив A, а AC — напротив B. Поэтому сравнение сторон следует за сравнением соответствующих углов.
Ответ: BC > AC. Третий угол для этого вывода находить не нужно.
Задача 2. В треугольнике ABC известно, что AB > AC. Сравните углы C и B. Сначала определим, какой угол находится напротив каждой из указанных сторон: AB противоположна углу C, а AC — углу B. Так мы не перепутаем направление сравнения.
Ответ: ∠C > ∠B. Здесь использовано обратное утверждение: от сравнения сторон перешли к сравнению углов.
Задача 3. В треугольнике ABC сторона AB больше стороны AC, а AC больше BC. Расположите углы в порядке убывания. Нужно сопоставить каждую сторону с противоположным углом: для AB это C, для AC — B, для BC — A. Затем сохраняем порядок сравнения сторон при переходе к углам.
Ответ: углы в порядке убывания: ∠C, ∠B, ∠A. Сначала была задана последовательность длин сторон, а затем каждой стороне поставлен в соответствие угол напротив неё.
Сравнивают угол с прилежащей к нему стороной. Так происходит, когда ученик смотрит только на чертёж и не отмечает вершину угла. Перед выводом выпишите соответствие: напротив A лежит BC, напротив B — AC. Проверьте, что сравниваемая сторона не образует данный угол, а находится напротив него.
Путают обозначения сторон и углов, например считают, что сторона a образует угол A. Обычно это происходит из-за буквенных названий вершин и сторон. Запомните: a = BC, b = AC, c = AB, то есть строчная буква обозначает сторону напротив одноимённой вершины. Для самопроверки найдите сторону, которая не касается вершины угла.
Иногда предполагают, что большему углу соответствует меньшая сторона. Это ошибка в направлении сравнения: обе величины изменяются одинаково. Если один угол больше другого, то и его противолежащая сторона больше; подставьте обозначения в таблицу, чтобы проверить знак. Такое же направление сохраняется при переходе от сторон к углам.
Нельзя переносить правило на элементы разных треугольников. Связь между величиной угла и длиной стороны установлена для угла и стороны одного треугольника, а между разными треугольниками такого сравнения из этих данных не следует. Проверьте, что обе стороны и оба угла, которые вы сравниваете, относятся к одной фигуре. Если треугольники разные, нужны дополнительные условия.
Для работы с этим свойством нужно знать вершины, стороны и углы треугольника, а также уметь сравнивать углы и отрезки. Буквенные обозначения помогают быстро находить противолежащие элементы. Позже правило пригодится при сравнении частей треугольников и доказательстве неравенств между его сторонами. Оно также помогает делать выводы о форме треугольника, даже если известны не все длины и углы.
Какая сторона треугольника называется противолежащей углу?
Это сторона, которая не является стороной данного угла и лежит напротив его вершины. Например, напротив угла A лежит сторона BC.
Как определить, какой угол больше, если известны длины сторон?
Сравните стороны и определите, какие углы лежат напротив них. Большей стороне соответствует больший противолежащий угол, меньшей — меньший.
Как сравнить стороны, если известны величины углов?
Сначала установите, какая сторона лежит напротив каждого угла. Против большего угла лежит большая сторона, а против меньшего — меньшая.
Верно ли, что равным сторонам всегда противолежат равные углы?
Да, если стороны принадлежат одному треугольнику. Равным сторонам противолежат равные углы, и наоборот.
Можно ли сравнивать угол и сторону, если они принадлежат разным треугольникам?
Нет, это правило связывает стороны и углы внутри одного треугольника. Для сравнения элементов разных треугольников нужны дополнительные сведения.
112. Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами
