"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов. Она помогает находить неизвестную сторону, угол или радиус описанной окружности, если известны другие элементы треугольника. Главное равенство: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R. Здесь R — радиус окружности, проходящей через все вершины треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема синусов утверждает: в треугольнике отношения каждой стороны к синусу противолежащего угла равны. Поэтому можно сравнивать стороны через углы и находить неизвестные элементы. Основная формула имеет вид: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
Сторона a лежит напротив угла A, сторона b — напротив угла B, а сторона c — напротив угла C. Такие буквы помогают не перепутать пары «сторона — угол». При решении задачи сначала найдите именно противолежащий угол.
Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины треугольника. Для любого треугольника можно построить такую окружность. Она нужна, чтобы связать элементы треугольника с её радиусом.
Радиус описанной окружности R — расстояние от её центра до любой вершины треугольника. Все три вершины находятся на одинаковом расстоянии от центра. В теореме синусов радиус связывает сторону и синус противолежащего угла.
Теорема синусов записывается так: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R. Число 2R — это диаметр описанной окружности, потому что диаметр в два раза длиннее радиуса. Поэтому каждое отношение стороны к синусу соответствующего угла имеет одно и то же значение.
Почему появляется именно такое отношение, можно увидеть через хорду. Любая сторона треугольника является хордой его описанной окружности, то есть отрезком, соединяющим две точки окружности. Длина хорды, стягивающей угол A, равна 2R · sin A, поэтому a = 2R · sin A и a / sin A = 2R.
Угол A называют противолежащим стороне a, потому что сторона a находится напротив вершины A. Аналогично, b находится напротив B, а c — напротив C. Значит, в формуле нельзя соединять сторону с прилежащим углом: нужно смотреть на положение стороны относительно вершины.
Из равенства отношений можно составить пропорцию. Например, из a / sin A = b / sin B получаем b = a · sin B / sin A, если нужно найти b. Сначала записывают соответствующую пару «сторона и противолежащий угол», затем подставляют известные значения и выполняют вычисления.
Равенство a / sin A = 2R позволяет найти радиус описанной окружности. Умножив обе части на sin A, получаем a = 2R · sin A, а затем R = a / (2 · sin A). Для другой стороны используется такой же порядок действий.
| Сторона | Противолежащий угол | Отношение |
|---|---|---|
| a | A | a / sin A = 2R |
| b | B | b / sin B = 2R |
| c | C | c / sin C = 2R |
| Связь с радиусом описанной окружности | Общее значение всех отношений — 2R | |
Пользуйтесь таблицей, чтобы быстро проверить соответствие стороны и угла. Выберите известную пару, а затем составьте пропорцию с парой, содержащей неизвестную величину. Если сторона или угол записаны не в своей строке, в решении появится ошибка.
В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B — 90°, сторона a равна 5 см. Найдём сторону b. Стороны a и b сопоставляются с углами A и B, потому что находятся напротив них.
Ответ: 10 см.
Сторона a равна 8 см, а противолежащий угол A равен 30°. Требуется найти радиус описанной окружности. Здесь сразу подходит формула a / sin A = 2R.
Ответ: 8 см.
Дано: a = 6 см, A = 30°, B = 45°. Нужно найти сторону b и радиус R. Для стороны используем две пары «сторона — противолежащий угол», а для радиуса — сторону a и угол A.
Ответ: b = 6√2 см, R = 6 см.
Сторону сопоставляют с прилежащим, а не с противолежащим углом. Так происходит, когда смотрят на соседство элементов, а не на вершину напротив стороны. Проверьте себя: мысленно продолжите сторону и убедитесь, что нужный угол находится у вершины напротив неё.
Забывают множитель 2 и пишут отношение равным R. Причина ошибки — смешение радиуса и диаметра окружности. Сверьте итог с полной формулой: a / sin A = 2R.
Переставляют члены пропорции при вычислениях. Тогда сторона оказывается связанной с синусом чужого угла. Перед подстановкой подпишите над каждой стороной её противолежащий угол.
Используют неверный режим калькулятора: радианы вместо градусов или наоборот. Из-за этого значения синусов получаются другими. Перед вычислениями проверьте обозначение режима и единицы угла в условии.
До изучения теоремы нужны обозначения сторон и углов треугольника, свойства треугольника и понятие описанной окружности. Также пригодятся навыки составления пропорций и знания синусов известных углов. Теорема синусов помогает находить неизвестные стороны, углы и радиус описанной окружности, поэтому используется во многих задачах на треугольники.
Как понять, какой угол нужно сопоставить стороне?
Нужно найти угол, который находится напротив данной стороны. Например, сторона a лежит напротив угла A, поэтому им соответствует отношение a / sin A.
Почему в теореме синусов появляется 2R, а не R?
Сторона треугольника является хордой описанной окружности. Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, а диаметр в два раза больше радиуса: 2R.
Можно ли применить теорему синусов в прямоугольном треугольнике?
Да, теорема синусов действует в любом треугольнике, в том числе в прямоугольном. Например, если угол равен 90°, его синус равен 1, поэтому сторона напротив него связана с диаметром описанной окружности.
Как найти сторону, если известны сторона и два угла?
Сначала сопоставьте каждой стороне противолежащий угол. Затем используйте пропорцию a / sin A = b / sin B, выразив неизвестную сторону: b = a · sin B / sin A.
Как по теореме синусов найти радиус описанной окружности?
Если известны сторона a и противолежащий угол A, примените формулу a / sin A = 2R. Отсюда R = a / (2 sin A).
97. Теорема синусов
