"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Площадь треугольника можно найти не только по основанию и высоте, но и по двум сторонам и углу между ними. Теорема о площади треугольника записывается так: S = ½ab sin C. Здесь a и b — выбранные стороны, а C — угол, заключённый между ними. Формула помогает находить площадь, когда высота неизвестна, и подходит для острых, прямых и тупых углов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, показывающая, сколько места занимает треугольник на плоскости; её обозначают буквой S. Если известны основание a и проведённая к нему высота h, площадь вычисляют по формуле S = ½ah. Эта формула понадобится, чтобы вывести новый способ нахождения площади. Результат записывают в квадратных единицах, например в см².
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой угол 90°, поэтому его длину можно связать со стороной и углом треугольника. Высота не всегда проходит внутри треугольника: при тупом угле она может попасть на продолжение стороны. Это нужно учитывать при построении и вычислениях.
Синус угла — тригонометрическая величина, которая связывает угол с отношением сторон прямоугольного треугольника. В этой теме синус помогает выразить высоту через сторону треугольника и угол между сторонами. Например, если сторона длины b образует с основанием угол C, то высота равна b sin C. Поэтому синус позволяет перейти от формулы площади с высотой к формуле с двумя сторонами.
Теорема о площади треугольника связывает площадь с двумя сторонами и синусом угла между ними. Если стороны равны a и b, а угол между ними — C, то S = ½ab sin C. Теорема полезна, когда известны две стороны и угол, но высота не дана. Главное — выбрать именно угол, образованный этими сторонами.
Возьмём в треугольнике две стороны, длины которых обозначим a и b, а угол между ними — C. Первую сторону удобно считать основанием, а ко второй провести высоту. Тогда площадь по известной формуле равна половине произведения основания на высоту. Такое обозначение помогает заменить неизвестную высоту величиной, которую можно вычислить по стороне и углу.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, который получается при проведении высоты. В нём сторона b является гипотенузой, а высота h — катетом, противолежащим углу C. По определению синуса sin C = h ÷ b, значит, h = b sin C. Если угол тупой, при построении высоты возникает прямоугольный треугольник с дополнительным острым углом; синусы этих углов равны, поэтому выражение для высоты сохраняется.
Теперь подставим найденную высоту в формулу S = ½ah. Вместо h запишем b sin C и получим S = ½a · b sin C, то есть S = ½ab sin C. Половина появляется потому, что площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту. Формула подходит, когда известны длины двух сторон и угол между ними.
Угол важен, потому что при тех же сторонах он определяет высоту, а высота влияет на площадь. Если угол острый, при увеличении угла его синус растёт, значит, растёт и высота; для прямого угла синус равен 1, и высота равна второй стороне. При тупом угле синус снова уменьшается по мере приближения к 180°. Поэтому одинаковые две стороны могут образовать треугольники разной площади.
Формула сохраняется для острого, прямого и тупого угла. При тупом угле высота опускается на продолжение основания, но её длина остаётся положительной, как и синус угла треугольника. Можно выбрать любую пару сторон, однако вместе с ними нужно взять заключённый между ними угол. Если известны стороны b и c, используем угол A, а не любой другой угол треугольника.
В таблице каждая строка показывает, какую формулу использовать для выбранной пары сторон. Буква в столбце с углом обозначает угол именно между этими сторонами. Проверь обозначения в задаче, прежде чем подставлять числа.
| Выбранные стороны | Угол между ними | Формула площади |
|---|---|---|
| a и b | C | S = ½ab sin C |
| b и c | A | S = ½bc sin A |
| c и a | B | S = ½ca sin B |
Задача 1. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 6 см и 8 см, а угол между ними равен 30°. Здесь известны именно две стороны и угол между ними, поэтому можно сразу применить теорему. Для угла 30° синус равен ½. Запишем вычисления и проследим, чтобы итоговая единица была квадратной.
Ответ: 12 см². Длина каждой стороны измеряется в сантиметрах, а их произведение — в квадратных сантиметрах.
Задача 2. Найдите площадь треугольника со сторонами 5 см и 7 см, если угол между ними равен 120°. Угол тупой, но теорема по-прежнему применима; нужно использовать синус именно 120°. Поскольку sin 120° = sin 60° = √3 ÷ 2, синус здесь положителен. Подмена угла на 60° допустима только после объяснения равенства синусов.
Ответ: 35√3 ÷ 8 см², или примерно 7,6 см². Площадь положительна: тупой угол не делает её отрицательной.
Задача 3. Площадь треугольника равна 24 см², две его стороны равны 8 см и 10 см. Найдите синус угла между этими сторонами и определите возможные значения угла. Сначала выразим синус из теоремы, а затем вспомним, что углы треугольника лежат между 0° и 180°. Поэтому ответом могут быть два угла.
Ответ: sin C = 0,6; угол может быть приблизительно равен 36,9° или 143,1°. Оба значения возможны, потому что острый и тупой углы, дополняющие друг друга до 180°, имеют одинаковый синус.
Первая ошибка — подставить синус угла, который не заключён между выбранными сторонами. Так бывает, когда ученик берёт угол из условия, не проверив его положение в треугольнике. Сверь обозначения: стороне a и b соответствует угол C, стороне b и c — угол A, стороне c и a — угол B.
Вторая ошибка — забыть множитель ½ и получить площадь вдвое больше нужной. Обычно формулу вспоминают как произведение сторон на синус, но пропускают переход от площади параллелограмма к площади треугольника. Перед вычислениями запиши формулу полностью: S = ½ab sin C. Проверить ответ можно, сравнив его с произведением двух сторон: площадь треугольника не должна превосходить половину этого произведения.
Третья ошибка — считать, что при тупом угле высота не используется, потому что не проходит внутри треугольника. Высота определяется как перпендикуляр к прямой, содержащей противоположную сторону, поэтому её можно провести к продолжению этой стороны. Сделай чертёж и продли сторону, если нужно; длина высоты остаётся положительной, а формула действует.
Четвёртая ошибка — при тупом угле записать отрицательное значение синуса или перепутать градусы с радианами. В школьных задачах угол обычно задан в градусах, поэтому убедись, что калькулятор тоже работает в градусном режиме. Синус угла треугольника от 0° до 180° положителен; для тупого угла его можно проверить через равенство sin(180° − C) = sin C.
Для теоремы нужна формула площади через основание и высоту, а также понимание того, как проводится высота. Это знания о треугольниках, которые позволяют понять, откуда берётся новая формула. Без них выражение S = ½ab sin C пришлось бы просто запоминать.
Также нужно уметь находить синус угла и пользоваться значениями стандартных углов, например 30°, 60° и 90°. Это помогает вычислять площадь точно, не прибегая к приближённым значениям. Теорема пригодится в задачах на площади и при дальнейшем изучении тригонометрических методов в геометрии.
Почему в формуле площади используется синус угла, а не косинус?
Площадь равна половине произведения основания на высоту. Высота выражается через сторону и синус угла между сторонами, поэтому в формуле появляется синус. Косинус помогает находить другую проекцию стороны, но не высоту.
Как понять, какой угол нужно подставлять в формулу?
Сначала выбери две стороны, длины которых известны. Подставлять нужно угол, который образован именно этими сторонами и расположен между ними.
Можно ли применять теорему, если угол между сторонами тупой?
Да, формула действует и для тупого угла. Высота в таком случае может опускаться на продолжение выбранной стороны, а синус тупого угла остаётся положительным.
Что делать, если известны две стороны, но неизвестна площадь?
Найди угол между известными сторонами и подставь обе длины и синус этого угла в формулу S = ½ab sin C. Если угол не дан, для вычисления площади понадобится дополнительная информация.
Можно ли по площади и двум сторонам найти угол между ними?
Можно найти синус угла: sin C = 2S ÷ (ab). Затем по значению синуса определяют возможные углы. В пределах от 0° до 180° одному значению синуса могут соответствовать острый и тупой углы.
96. Теорема о площади треугольника
