§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Определения и обозначения

Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из его внутренних углов. Чтобы его получить, продолжают одну из сторон за вершину: внешний угол образуется между продолжением стороны и другой стороной треугольника. Он помогает находить неизвестные углы, потому что связан и со смежным углом, и с двумя другими внутренними углами.

Противолежащими называют сторону, лежащую напротив данного угла, и угол, лежащий напротив данной стороны. Например, в треугольнике ABC стороне BC противолежит угол A, а углу A — сторона BC. Такое соответствие нужно устанавливать до сравнения углов и сторон, иначе можно сопоставить неверные элементы.

Неравенство треугольника — условие, по которому каждая сторона меньше суммы двух остальных. Если длины сторон обозначены a, b и c, должны выполняться три условия: a < b + c, b < a + c и c < a + b. Это правило используют, чтобы проверить, получится ли из заданных отрезков треугольник.

Сумма углов треугольника — сумма величин трёх его внутренних углов; она равна 180°. Речь идёт именно об углах внутри треугольника, а не о внешних углах. Свойство позволяет найти неизвестный внутренний угол, если известны два других.

Как это устроено

Чтобы объяснить сумму углов, через одну вершину треугольника проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Две другие стороны становятся секущими этой прямой, а значит, образуют с ней накрест лежащие углы, равные углам треугольника при основании. Вместе эти два угла и угол при выбранной вершине составляют развернутый угол. Развернутый угол равен 180°, поэтому сумма трёх внутренних углов тоже равна 180°.

Внешний угол вместе с внутренним углом при той же вершине образует смежную пару, сумма которой равна 180°. С другой стороны, сумма всех трёх внутренних углов треугольника также равна 180°. Если из обеих равных сумм убрать общий внутренний угол при вершине, останется, что внешний угол равен сумме двух других внутренних углов. Именно поэтому для его нахождения можно сложить углы, не смежные с ним.

Стороны сравнивают по углам, которые лежат напротив них: большему углу соответствует большая сторона, а большей стороне — больший угол. Причина в том, что при увеличении угла расстояние между концами его сторон на противоположной стороне треугольника становится больше. Если углы равны, то противолежащие им стороны равны: иначе большему из этих двух отрезков соответствовал бы больший угол, но углы равны. Обратно, равным сторонам соответствуют равные противолежащие углы.

Так как внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, он больше каждого из них по отдельности. Например, если эти углы равны 40° и 60°, внешний угол равен 100°, а значит, он больше и 40°, и 60°. Здесь используются положительные величины углов: сумма двух таких величин больше каждой из них. Это свойство помогает оценивать углы и проверять, не получен ли в решении невозможный результат.

Между двумя точками отрезок короче любой ломаной, соединяющей те же точки. Если пройти от одной вершины треугольника к другой через третью, получится ломаная из двух сторон, а прямой отрезок между вершинами — третья сторона. Поэтому сумма двух сторон всегда больше третьей. Для проверки заданных длин необходимо применить это рассуждение к каждой стороне; если хотя бы одно из трёх условий нарушено, треугольник невозможен.

Основные соотношения между углами и сторонами треугольника

Сначала определи, какое свойство подходит к условию задачи, а затем сопоставь элементы внимательно: для сравнения стороны нужен угол напротив неё. При проверке длин используй все три неравенства, а при поиске угла проверь, что сумма внутренних углов получилась равной 180°.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике два угла равны 47° и 68°. Найдём третий угол. Нужно учесть оба известных угла, потому что сумма всех трёх внутренних углов составляет 180°.

1. Сложим известные углы: 47° + 68° = 115°.
2. Вычтем эту сумму из 180°: 180° − 115° = 65°.
3. Проверим: 47° + 68° + 65° = 180°.

Ответ: третий угол равен 65°.

Задача 2. Внешний угол равен 125°, один из двух внутренних углов, не смежных с ним, равен 55°. Найдём второй угол. Внешний угол равен сумме именно этих двух внутренних углов, поэтому вычтем из него известный угол.

1. Обозначим неизвестный внутренний угол за x.
2. Запишем соотношение: 55° + x = 125°.
3. Вычтем 55°: x = 125° − 55° = 70°.

Ответ: второй внутренний угол равен 70°.

Задача 3. Стороны треугольника выражены числами x, x + 2 и 2x − 1. Найдём целые положительные значения x, при которых треугольник существует. Сначала учитываем, что длина 2x − 1 должна быть положительной, затем проверяем неравенство для каждой стороны.

1. Из условия x > 0 и целочисленности получаем x ≥ 1; тогда все три выражения положительны.
2. Для стороны x: x < (x + 2) + (2x − 1), то есть x > −1. Условие выполняется при x ≥ 1.
3. Для стороны x + 2: x + 2 < x + (2x − 1), откуда x > 3.
4. Для стороны 2x − 1: 2x − 1 < x + (x + 2), получаем −1 < 2, то есть условие выполняется всегда.

Подходят целые положительные x, большие 3. При x = 4 стороны равны 4, 6 и 7, и каждое из трёх неравенств выполняется. Ответ: x = 4, 5, 6, …

Типичные ошибки

При поиске третьего угла иногда из 180° вычитают только один известный угол. Так происходит, если забыть, что в треугольнике уже даны два угла и нужно найти их сумму. Перед вычислением выпиши оба известных значения, сложи их и только потом вычитай из 180°; в конце проверь, что все три угла дают 180°.

Внешний угол путают с внутренним углом, смежным с ним. Эти два угла в сумме дают 180°, а внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: это разные соотношения. Чтобы не перепутать их, отметь вершину внешнего угла и назови, какие именно углы складываешь или вычитаешь.

Сравнивая сторону и угол, можно случайно выбрать угол не напротив этой стороны. Ошибка возникает, если смотреть только на расположение элементов на рисунке, а не на их соответствие. Обозначь вершины или мысленно найди угол напротив концов стороны; для BC в треугольнике ABC это угол A. Затем сравнивай только правильно найденные пары.

При проверке сторон бывает проверено лишь одно неравенство, и его ошибочно считают достаточным. Между тем каждая из трёх сторон должна быть меньше суммы двух других, а нарушение хотя бы одного условия делает построение невозможным. Запиши три проверки отдельно и отметь результат каждой; только после этого делай вывод о существовании треугольника.

Связь с другими темами

Для доказательства суммы углов используются свойства смежных углов и параллельных прямых, в частности равенство накрест лежащих углов. Поэтому перед разбором полезно уметь распознавать такие пары и знать, что смежные углы в сумме дают 180°. Связь сторон с противолежащими углами пригодится при решении задач о треугольниках, доказательстве их свойств и дальнейшем изучении геометрических неравенств.

Что запомнить

• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Внешний угол больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
• Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
• Каждая сторона треугольника меньше суммы двух остальных сторон.