"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
В треугольнике длины сторон связаны с величинами углов, лежащих напротив них: большей стороне соответствует больший угол, а большему углу — большая сторона. Эта связь помогает сравнивать элементы треугольника, даже если известны не все их величины. Ещё одно важное правило — каждая сторона меньше суммы двух других. Оно позволяет проверить, могут ли три заданных отрезка составить треугольник.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Противолежащая сторона — сторона треугольника, не имеющая общей вершины с данным углом. Если угол обозначен A, то противолежащую ему сторону записывают BC: буквы обозначают концы стороны, а вершина угла в её обозначение не входит. Это понятие нужно, чтобы точно сопоставлять угол и сторону, а не сравнивать любые элементы треугольника.
Противолежащий угол — угол треугольника, лежащий напротив данной стороны. Например, стороне AB в треугольнике ABC противолежит угол C, который записывают ∠C. По этому определению удобно находить нужный угол, когда известна сторона, и наоборот.
Неравенство треугольника — утверждение, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других. Для сторон a, b и c это означает: a < b + c, b < a + c и c < a + b. Правило помогает проверить, могут ли три отрезка вообще образовать треугольник.
Представим треугольник ABC и сравним сторону AB с AC. Напротив AB лежит угол C, а напротив AC — угол B, поэтому сравнивать нужно именно ∠C и ∠B. Если AB длиннее AC, то и угол C больше угла B; если стороны равны, их противолежащие углы тоже равны. Так на чертеже можно увидеть соответствие: сторона и угол находятся друг напротив друга, а не рядом.
Теорема утверждает: если две стороны треугольника не равны, то против большей стороны лежит больший угол. Например, если AB > AC, то ∠C > ∠B. Причина в том, что при увеличении стороны, напротив которой находится угол, этот угол раскрывается шире; иначе, если бы ∠C был не больше ∠B, соответствующий порядок сторон оказался бы обратным. Равенство сторон даёт равенство противолежащих углов.
Можно сформулировать и обратное утверждение: если два угла треугольника не равны, то против большего угла лежит большая сторона. Например, из ∠A > ∠B следует BC > AC. Большому углу соответствует сторона BC, а меньшему — сторона AC. Речь по-прежнему идёт об углах и сторонах одного треугольника.
Обратное утверждение позволяет начинать сравнение с углов: если известны их величины, не требуется отдельно измерять стороны. Обе части теоремы описывают одну связь в двух направлениях: сторона определяет порядок противолежащих углов, а порядок углов позволяет сравнить противолежащие стороны. Поэтому после сравнения всегда полезно проверить, правильно ли найдена пара элементов напротив друг друга.
Неравенство треугольника нужно потому, что две стороны должны вместе «дотянуться» до концов третьей и замкнуть фигуру. Если сумма двух отрезков меньше третьего, их длины не позволят соединить концы; если равна, получится прямая линия, а не треугольник. Поэтому сумма любых двух сторон должна быть строго больше третьей. Для трёх длин обычно достаточно проверить сумму двух меньших: если она больше самой длинной, остальные две проверки тоже выполняются.
| Что сравниваем | Что следует из сравнения | Какое утверждение применяем |
|---|---|---|
| Две стороны треугольника | Два противолежащих угла | Большей стороне противолежит больший угол |
| Два противолежащих угла | Две стороны треугольника | Большему углу противолежит большая сторона |
| Три отрезка, претендующие на роль сторон треугольника | Можно ли построить треугольник | Неравенство треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей |
В первой строке найдите углы напротив сравниваемых сторон, во второй — стороны напротив сравниваемых углов. Если проверяете три отрезка, сопоставьте сумму двух меньших с наибольшим. В каждом случае используйте только элементы одного треугольника.
Задача 1. В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. Сравните углы B и C.
Ответ: углы B и C равны. Здесь важно не перепутать: сторона AB находится напротив угла C, а не угла B.
Задача 2. В треугольнике ABC угол A больше угла B. Сравните стороны BC и AC.
Ответ: BC больше AC. Сравнение было сделано по углам одного треугольника, а стороны подобраны по правилу «напротив».
Задача 3. Могут ли отрезки длиной 4 см, 7 см и 12 см быть сторонами треугольника?
Ответ: нет, такие отрезки не могут быть сторонами треугольника. Проверка только одной суммы здесь достаточна, потому что сумма двух меньших отрезков меньше наибольшего.
Первая ошибка — сравнивать сторону с углом, не выяснив, лежат ли они напротив друг друга. Так происходит, когда ориентируются на соседство элементов на рисунке; например, у AB противолежит ∠C, а не ∠A. Для проверки найдите вершину, которой нет в обозначении стороны, или сторону, у которой нет общей вершины с углом.
Вторая ошибка — считать, что большему углу соответствует меньшая сторона. Это обратное направление связи, которое легко перепутать, если запоминать правило без подбора пар. Проверьте себя: напротив большего угла должна оказаться большая сторона, а напротив меньшего — меньшая.
Третья ошибка — применять теорему к элементам, которые принадлежат разным треугольникам. Сравнение может быть верным только внутри одного треугольника, где сторона и угол связаны общей фигурой. Перед выводом назовите треугольник и проверьте, что обе сравниваемые стороны или оба угла входят в него.
Четвёртая ошибка — проверить только одну случайную сумму при проверке трёх отрезков. Каждая сторона должна быть меньше суммы двух других, поэтому вообще нужно рассмотреть все три неравенства. Чтобы упростить работу, сложите две меньшие длины и сравните с наибольшей: если эта сумма больше, два остальных условия также выполнены.
Для работы с темой нужно знать, как обозначают вершины, стороны и углы треугольника, а также уметь сравнивать отрезки и углы. Без этих навыков легко неверно определить, какие элементы лежат напротив друг друга. Правила пригодятся при решении задач на сравнение элементов треугольника. Неравенство треугольника также используют в доказательствах геометрических неравенств.
Как определить, какой угол противолежит данной стороне?
Найдите вершину, которая не принадлежит этой стороне. Угол при этой вершине и есть противолежащий. Например, стороне BC в треугольнике ABC противолежит угол A.
Как сравнить стороны треугольника, если известны его углы?
Сначала сравните углы, а затем найдите стороны напротив них. Напротив большего угла лежит большая сторона, а напротив меньшего — меньшая.
Можно ли по длинам сторон определить, какой угол больше?
Да, если стороны принадлежат одному треугольнику. Напротив большей стороны лежит больший угол, напротив меньшей — меньший.
Почему большей стороне соответствует больший угол?
Угол напротив стороны показывает, насколько расходятся два направления, образующие эту сторону с другими сторонами треугольника. Если сторона длиннее, соответствующий ей угол не может быть меньше: иначе по соотношению углов и сторон получился бы обратный порядок. Это следует из теоремы о связи сторон и углов треугольника.
Как быстро проверить, могут ли три отрезка образовать треугольник?
Сложите длины двух меньших отрезков и сравните результат с длиной самого большого. Если сумма больше, треугольник построить можно; если она меньше или равна, нельзя. Это проверка неравенства треугольника для самой длинной стороны.
4.2 Соотношения между сторонами и углами треугольника
