"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Координаты помогают описать положение точки на плоскости числами. По координатам концов отрезка можно найти координаты его середины, а также длину самого отрезка. Для середины берут полусуммы соответствующих координат, а расстояние вычисляют по теореме Пифагора через разности абсцисс и ординат. Эти формулы упрощают решение геометрических задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координаты точки на плоскости — упорядоченная пара чисел, которая задаёт её положение относительно координатных осей. Первое число называют абсциссой, второе — ординатой, и записывают их именно в таком порядке: A(x; y). Такая запись позволяет точно указать точку и выполнять вычисления с её положением. Для отрезка с концами A и B будем обозначать координаты концов так: A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂).
Середина отрезка — точка этого отрезка, равноудалённая от его концов. Если M — середина AB, то отрезки AM и MB имеют одинаковую длину. Её координаты связаны с координатами концов: абсцисса M получается из абсцисс A и B, а ордината — из ординат A и B. Это позволяет находить середину вычислением, не откладывая отрезок на чертеже.
Расстояние между точками — длина отрезка, который соединяет эти точки. Например, расстояние между A и B обозначают AB. По координатам концов его можно вычислить, даже если сам отрезок не лежит вдоль одной из осей. Для этого используют изменения координат по горизонтали и вертикали, а затем связывают их с длиной отрезка.
Чтобы найти середину отрезка, рассматривают каждое направление отдельно. По горизонтали середина должна находиться посередине между абсциссами концов, поэтому её абсцисса равна их полусумме: xₘ = (x₁ + x₂)/2. По вертикали действует та же причина: yₘ = (y₁ + y₂)/2. Так получается формула M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2), в которой координаты одного направления не смешиваются с координатами другого.
Формула работает и тогда, когда отрезок горизонтальный или вертикальный. У горизонтального отрезка ординаты концов совпадают, поэтому их полусумма равна этой же ординате. У вертикального совпадают абсциссы, и полусумма абсцисс даёт общее значение. Значит, формула не требует особого случая: совпавшие координаты просто сохраняются.
Для вывода формулы расстояния удобно мысленно провести через концы отрезка линии, параллельные координатным осям. Они образуют прямоугольный треугольник с отрезком AB в роли гипотенузы. Один катет показывает, насколько отличаются абсциссы концов, а другой — насколько отличаются их ординаты. Поэтому длины катетов равны модулю разности соответствующих координат.
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Значит, AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)², а само расстояние равно AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Корень нужен потому, что после сложения квадратов получается квадрат длины, а требуется сама длина. Порядок вычитания можно поменять: квадрат разности от этого не изменится.
При применении формул сначала определи, что требуется найти, и выпиши координаты точек в порядке «абсцисса; ордината». Для середины сложи отдельно абсциссы и отдельно ординаты, после чего каждую сумму раздели на два. Для расстояния найди разности соответствующих координат, возведи их в квадрат, сложи и извлеки корень. Скобки вокруг разностей помогают правильно учесть отрицательные значения.
| Что требуется найти | Данные | Формула |
|---|---|---|
| Координаты середины отрезка AB | A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) | M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2) |
| Длина отрезка AB | A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) | AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) |
Сначала найди в таблице нужную величину, затем сопоставь её формулу с данными задачи. Индексы 1 и 2 относятся к координатам первого и второго концов отрезка, а не к разным осям. Подставляй координаты по порядку и сохраняй скобки вокруг разностей.
Задача 1. Найти координаты середины отрезка с концами A(2; 4) и B(6; 8). Требуется получить две координаты точки M: сначала абсциссу, затем ординату. Для этого нужно найти среднее значение абсцисс концов и отдельно среднее значение их ординат.
Ответ: M(4; 6). Проверка: от 2 до 4 и от 4 до 6 по горизонтали одинаковое расстояние, а по вертикали путь от 4 до 6 и от 6 до 8 тоже одинаков. Значит, найденная точка действительно находится посередине между концами.
Задача 2. Найти расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6). По горизонтали координаты отличаются на 4 − 1, а по вертикали — на 6 − 2. Эти два изменения можно считать катетами прямоугольного треугольника, а искомое расстояние будет его гипотенузой.
Ответ: AB = 5. Значение 5 получается именно после извлечения квадратного корня из 25. Проверка по теореме Пифагора показывает, что катеты длиной 3 и 4 дают гипотенузу длиной 5.
Задача 3. Известны координаты A(−2; 3) и середины M(1; 5) отрезка AB. Найти координаты B. Здесь один конец и середина уже известны, поэтому формулу середины нужно использовать как два равенства с неизвестными координатами второго конца. Обозначим B(x; y).
Ответ: B(4; 7). Проверим результат: полусумма абсцисс равна (−2 + 4)/2 = 1, а полусумма ординат равна (3 + 7)/2 = 5. Обе координаты середины совпали с данными в условии.
Первая ошибка — складывать координаты разных направлений, например абсциссу одной точки с ординатой другой. Такое случается, когда ученик не сохраняет порядок чисел в записи точек. Перед вычислением подпиши отдельно x₁, y₁, x₂ и y₂. В формуле середины должны складываться x с x и y с y.
Вторая ошибка — найти сумму координат концов, но забыть разделить её на два. Тогда получается удвоенное среднее значение, а не координата середины. После сложения проверь, что в каждой координате формулы есть деление на 2. Можно также убедиться, что полученное значение находится между соответствующими координатами концов.
Третья ошибка — записать разность без скобок перед возведением в квадрат, особенно при отрицательной координате. Например, выражение 4 − (−2) нужно вычислить как 6, а не потерять знак минуса при подстановке. Сначала впиши каждую разность целиком в скобках и только потом возводи её в квадрат. Такая запись помогает проверить порядок действий.
Четвёртая ошибка — принять сумму квадратов разностей за расстояние. Сумма даёт квадрат длины, а не саму длину, поэтому без корня ответ неверен. Проверь, что после сложения квадратов ты извлёк квадратный корень. Если после этого расстояние получилось отрицательным, значит, в вычислениях есть ошибка: длина не бывает отрицательной.
Для работы с формулами нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости и различать их абсциссу и ординату. Это помогает правильно читать запись координат и подставлять числа в нужные места. Формулу расстояния выводят с помощью теоремы Пифагора: координатные разности становятся катетами прямоугольного треугольника. Позже формулы позволяют решать задачи о треугольниках и окружностях, заданных координатами.
Почему координаты середины находят как полусуммы координат концов?
Середина находится ровно посередине между концами по каждому направлению. Поэтому её абсцисса — среднее двух абсцисс, а ордината — среднее двух ординат: каждую пару складывают и делят на два.
Что делать, если одна из координат отрицательная?
Подставляй отрицательное число в формулу в скобках и выполняй действия с учётом знака. Например, −2 + 6 = 4, а при возведении разности в квадрат скобки особенно важны.
Почему в формуле расстояния координаты вычитают, а затем возводят в квадрат?
Разность координат показывает, на сколько точки отличаются по горизонтали и вертикали. Эти величины являются катетами прямоугольного треугольника, поэтому их квадраты складывают по теореме Пифагора.
Можно ли применять формулу расстояния, если отрезок горизонтальный или вертикальный?
Да, формула подходит для любого отрезка. У горизонтального отрезка ординаты равны, а у вертикального равны абсциссы, поэтому одна из разностей в формуле будет нулём.
Как найти конец отрезка, если известны его начало и координаты середины?
Запиши формулы середины отдельно для абсцисс и ординат, подставь известные координаты и вырази неизвестные. Если координата середины равна m, а известная координата конца — a, то вторая координата конца равна 2m − a.
95. Формулы для вычисления координат точки
