94. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения

Определения и обозначения

Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² α + cos² α = 1, связывающее синус и косинус одного угла. Квадрат означает произведение значения функции на само себя. Тождество нужно, чтобы заменять квадрат синуса квадратом косинуса и наоборот.

Формулы приведения — равенства, которые выражают функцию угла вида π/2 ± α, π ± α или 2π ± α через функцию угла α. При преобразовании может измениться и функция, и её знак. Такие формулы помогают упрощать выражения и вычислять значения без нового построения окружности.

Знак тригонометрической функции в четверти — это знак её значения, определяемый положением угла на единичной окружности. Четвертью называют одну из четырёх частей, на которые оси координат делят окружность. По четверти можно проверить, должен ли результат быть положительным или отрицательным.

Как это устроено

Возьмём точку единичной окружности, соответствующую углу α. Её координаты равны x = cos α и y = sin α, а сама окружность имеет уравнение x² + y² = 1. Подставляя координаты, получаем cos² α + sin² α = 1, поэтому тождество верно для любого угла.

Из равенства sin² α + cos² α = 1 можно перенести одно слагаемое в другую часть. Так получаются sin² α = 1 − cos² α и cos² α = 1 − sin² α. Если cos α ≠ 0, деление тождества на cos² α даёт 1 + tg² α = 1/cos² α, а определение тангенса имеет вид tg α = sin α / cos α.

Углы α и π/2 − α в сумме дают π/2, поэтому на окружности их координаты меняются местами. Вертикальная координата нового угла становится прежней горизонтальной, а горизонтальная — прежней вертикальной. Отсюда sin(π/2 − α) = cos α и cos(π/2 − α) = sin α.

При переходе к углу π/2 + α координаты также меняются ролями, но точка оказывается в другой четверти. Поэтому появляется знак: sin(π/2 + α) = cos α, а cos(π/2 + α) = −sin α. Тангенс получает отрицательный знак, потому что он равен отношению синуса к косинусу.

Для углов, связанных с α через π и 2π, сначала определяют четверть, а затем используют периодичность: значения синуса и косинуса повторяются через 2π, тангенса — через π. В π − α сохраняется синус и меняется знак косинуса, в π + α меняются знаки синуса и косинуса. Угол 2π − α находится в IV четверти, поэтому синус и тангенс отрицательны, а косинус положителен.

Формулы приведения для основных углов

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала сравните данный угол с формами в первом столбце. Затем определите, какая функция получается после приведения, и проверьте её знак. Например, в выражении cos(π + α) нужно взять строку π + α и получить −cos α.

Разбор задач

Задача 1. Докажите равенство sin² α + cos² α = 1.

Рассматриваем точку единичной окружности, соответствующую углу α. Нужно использовать не свойства функций, а координаты этой точки. После подстановки координат в уравнение окружности требуемое равенство получится непосредственно.

1. Координаты точки на единичной окружности равны x = cos α и y = sin α.
2. Уравнение единичной окружности имеет вид x² + y² = 1.
3. Подставляем координаты: cos² α + sin² α = 1.
4. Меняем порядок слагаемых и получаем sin² α + cos² α = 1.

Ответ: равенство доказано.

Задача 2. Упростите выражение 1 − sin² α + cos² α.

В выражении есть сочетание 1 − sin² α, которое сразу узнаётся по основному тождеству. Заменим его квадратом косинуса, а затем сложим одинаковые слагаемые. Дополнительных ограничений на α нет, потому что синус и косинус определены для любого угла.

1. Из тождества следует 1 − sin² α = cos² α.
2. Подставляем замену: 1 − sin² α + cos² α = cos² α + cos² α.
3. Складываем слагаемые: cos² α + cos² α = 2cos² α.

Ответ: 2cos² α.

Задача 3. Упростите выражение sin(π/2 + α) · cos(π − α) / tg(π + α), указав ограничения на α.

Сначала преобразуем каждый угол отдельно по таблице. Затем перемножим числитель и разделим на знаменатель, не забывая проверить, когда знаменатель существует и не равен нулю. Для тангенса в знаменателе необходимо cos α ≠ 0 и tg α ≠ 0, то есть дополнительно sin α ≠ 0.

1. sin(π/2 + α) = cos α.
2. cos(π − α) = −cos α.
3. tg(π + α) = tg α.
4. Получаем (cos α · (−cos α)) / tg α = −cos² α / tg α.
5. Так как tg α = sin α / cos α, выражение можно записать как −cos³ α / sin α.

Ответ: −cos² α / tg α, или −cos³ α / sin α; ограничения: cos α ≠ 0 и sin α ≠ 0.

Типичные ошибки

Путают sin(π/2 − α) и cos(π/2 − α). Причина — обе формулы содержат одинаковые функции, но в разном порядке. Проверьте себя: при дополнении до π/2 синус и косинус меняются местами.

Записывают знак по памяти, не определяя четверть. Ошибка возникает, если смотреть только на вид угла и не учитывать расположение точки на окружности. Сначала найдите четверть, затем вспомните, какая функция в ней положительна.

Применяют tg α = sin α / cos α при cos α = 0. В таком случае деление невозможно, а тангенс не определён. Перед делением обязательно запишите условие cos α ≠ 0.

Из равенства sin² α = 1 − cos² α извлекают корень без модуля. Правильно писать |sin α| = √(1 − cos² α), а знак синуса выбирать по четверти. Простая запись sin α = √(1 − cos² α) верна только там, где синус неотрицателен.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определения синуса, косинуса и тангенса, представление о единичной окружности и координатах точки. Без этих понятий трудно понять происхождение тождества и знаков функций.

Тождество и формулы приведения применяются при упрощении тригонометрических выражений и доказательстве равенств. Позже они помогут преобразовывать и решать тригонометрические уравнения.

Что запомнить

• sin² α + cos² α = 1.
• sin² α = 1 − cos² α; cos² α = 1 − sin² α.
• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• В формулах для углов π/2 ± α синус и косинус меняются местами.
• Знак результата формулы приведения определяется четвертью угла.
• При упрощении сначала приводят угол, затем определяют функцию и её знак.