93. Синус, косинус, тангенс

Определения и обозначения

Синус острого угла α — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = противолежащий катет / гипотенуза. Противолежащим называют катет, который находится напротив выбранного угла. Синус помогает сравнить этот катет с самой длинной стороной треугольника.

Косинус острого угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Прилежащий катет касается выбранного угла и не является гипотенузой. Косинус показывает, какую часть гипотенузы составляет этот катет.

Тангенс острого угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = противолежащий катет / прилежащий катет. В записи используется сокращение tg, которое читают «тангенс». Это отношение позволяет сравнить два катета, не используя гипотенузу.

Положение катетов определяют относительно выбранного острого угла, а не по их длине или месту на странице. Катет напротив угла — противолежащий, а катет, который образует угол вместе с гипотенузой, — прилежащий. Если выбрать другой острый угол того же треугольника, эти катеты поменяются ролями.

Как это устроено

Отношения сторон не зависят от размера прямоугольного треугольника, потому что все прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны. У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны увеличиваются в одно и то же число раз. Поэтому, например, отношение противолежащего катета к гипотенузе остаётся прежним. Значит, синус задаётся величиной угла, а не конкретными длинами сторон.

Чтобы выбрать стороны на чертеже, сначала найдите прямой угол: напротив него лежит гипотенуза. Затем отметьте угол α, для которого нужно найти отношение, и посмотрите на оставшиеся два катета. Катет напротив α нужен для синуса и числителя тангенса, а катет у α — для косинуса и знаменателя тангенса. Такой порядок не даёт перепутать стороны, даже если треугольник нарисован необычно.

Синус и косинус связаны с разными катетами, потому что один сравнивает с гипотенузой сторону напротив угла, а другой — сторону у угла. Тангенс сравнивает эти два катета между собой. Гипотенуза ему не нужна: если разделить sin α на cos α, получится дробь (противолежащий катет / гипотенуза) / (прилежащий катет / гипотенуза). Общая гипотенуза сокращается, и остаётся tg α = sin α / cos α.

Синус и косинус острого угла меньше 1, потому что в каждом случае катет делят на гипотенузу, а гипотенуза длиннее любого катета. При этом оба отношения положительны, поэтому для острого угла они лежат между 0 и 1. Тангенс устроен иначе: он сравнивает катеты, и противолежащий катет может быть длиннее прилежащего. Поэтому тангенс может быть больше 1.

Удобно помнить значения отношений для трёх часто используемых углов: 30°, 45° и 60°. Для 45° катеты прямоугольного треугольника равны, поэтому синус и косинус совпадают, а тангенс равен 1. У углов 30° и 60° значения синуса и косинуса меняются местами, потому что эти углы дополняют друг друга до 90°. Точные значения приведены в таблице ниже.

Тригонометрические отношения острого угла

В формулах таблицы a — противолежащий катет, b — прилежащий катет, c — гипотенуза. В строке со значениями числа указаны по порядку для углов 30°, 45° и 60°. Сначала выберите столбец нужного отношения, затем проверьте, какие стороны и какой угол для него используются.

Разбор задач

Задача 1. Гипотенуза равна 10 см, а противолежащий катет относительно угла α равен 6 см. Нужно найти sin α. Все стороны уже определены относительно одного и того же угла, поэтому можно сразу воспользоваться определением синуса.

1. Запишем формулу: sin α = противолежащий катет / гипотенуза.
2. Подставим известные длины: sin α = 6 / 10.
3. Сократим дробь на 2: sin α = 3/5 = 0,6.

Ответ: sin α = 3/5, или 0,6. Значение безразмерное: при делении двух длин одинаковые единицы измерения сокращаются. Оно меньше 1, что согласуется с тем, что катет короче гипотенузы.

Задача 2. Катеты равны 5 см и 12 см. Найдём sin, cos и tg угла, противолежащего катету 5 см. Сначала нужна гипотенуза, а затем — стороны относительно указанного угла. Так мы не перепутаем катеты при вычислении трёх отношений.

1. По теореме Пифагора найдём гипотенузу: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, значит c = 13 см.
2. Катет 5 см противолежит углу, а катет 12 см прилежит к нему. Поэтому sin α = 5/13, cos α = 12/13.
3. Для тангенса разделим противолежащий катет на прилежащий: tg α = 5/12.

Ответ: sin α = 5/13, cos α = 12/13, tg α = 5/12. Проверка выбора сторон проста: катет 5 см расположен напротив указанного угла. Гипотенуза 13 см длиннее обоих катетов, как и должно быть.

Задача 3. Известно, что cos α = 3/5, а гипотенуза равна 20 см. Найдём оба катета, sin α и tg α. Косинус сообщает отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому из него сразу можно восстановить прилежащий катет. Для второго катета затем применим теорему Пифагора.

1. Запишем cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Тогда прилежащий катет равен (3/5) · 20 = 12 см.
2. Пусть противолежащий катет равен x. По теореме Пифагора x² + 12² = 20², значит x² = 400 − 144 = 256 и x = 16 см.
3. Вычислим sin α = 16/20 = 4/5, а tg α = 16/12 = 4/3.

Ответ: прилежащий катет — 12 см, противолежащий — 16 см; sin α = 4/5, tg α = 4/3. Проверить результат можно по исходному условию: отношение 12/20 действительно равно 3/5. Все найденные длины положительны, а гипотенуза больше каждого катета.

Типичные ошибки

Иногда прилежащим катетом называют гипотенузу, потому что обе стороны касаются выбранного острого угла. Но гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла, а прилежащий катет — это только одна из двух сторон, образующих острый угол. Проверьте себя: у выбранного угла должны сходиться гипотенуза и прилежащий катет, а не два катета.

Другая ошибка — выбирать противолежащий и прилежащий катеты произвольно или считать, что у треугольника есть один неизменный «противолежащий катет». Эти названия зависят от того, относительно какого острого угла ведётся вычисление. Отметьте угол α и только после этого определите положение катетов; если выбрать второй острый угол, роли катетов поменяются.

Тангенс иногда записывают как отношение катета к гипотенузе, смешивая его с синусом или косинусом. Причина обычно в том, что запомнили слова «катет» и «стороны», но не порядок отношения. Для проверки запишите определение: tg α = противолежащий катет / прилежащий катет; гипотенузы в нём нет.

Можно ошибочно получить sin α или cos α больше 1, если перепутать числитель и знаменатель. В этих отношениях гипотенуза стоит в знаменателе и длиннее любого катета, поэтому результат меньше 1. Если вышло значение больше 1, проверьте, не разделили ли вы гипотенузу на катет и правильно ли определили стороны.

Связь с другими темами

Для работы с синусом, косинусом и тангенсом нужно уметь находить стороны прямоугольного треугольника по теореме Пифагора и знать, как распознавать его элементы. Подобие объясняет, почему отношения сторон остаются одинаковыми у треугольников разного размера. Также понадобятся действия с дробями, чтобы сокращать и сравнивать полученные отношения.

Эти отношения помогают находить неизвестные стороны и углы в прямоугольных треугольниках. Позже они пригодятся в практических задачах, при изучении тригонометрии и координатного метода. Поэтому особенно полезно научиться правильно выбирать стороны относительно заданного угла.

Что запомнить

• Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
• Гипотенуза — сторона напротив прямого угла и самая длинная сторона треугольника.
• Для острого угла sin α и cos α лежат между 0 и 1.
• Тангенс связан с синусом и косинусом формулой tg α = sin α / cos α.
• Значения отношений зависят от величины угла, но не от размера треугольника.