§ 1. Синус, косинус, тангенс угла

Определения и обозначения

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе; его записывают sin α. Противолежащий катет находится напротив выбранного угла, а гипотенуза — напротив прямого угла. Синус помогает выразить, какую часть гипотенузы составляет катет напротив угла, и используется для вычисления сторон.

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе; запись — cos α. Прилежащий катет образует выбранный острый угол вместе с гипотенузой. Косинус показывает отношение этой стороны к гипотенузе и помогает находить длины сторон, если известен угол или другие элементы треугольника.

Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему; его обозначают tg α. Здесь сравниваются два катета, а гипотенуза в определение не входит. Тангенс позволяет сопоставить длины катетов и особенно удобен, когда нужно выразить один катет через другой.

Как это устроено

Названия катетов зависят от угла, который рассматривают. Сначала найди прямой угол: сторона напротив него — гипотенуза. Затем выбери нужный острый угол: катет рядом с ним, не являющийся гипотенузой, будет прилежащим, а катет напротив него — противолежащим. При переходе к другому острому углу эти два катета поменяются ролями.

Почему отношения сторон определяются самим углом, а не размером треугольника? Если два прямоугольных треугольника имеют один и тот же острый угол, то у них также равны прямые углы. По двум равным углам треугольники подобны, то есть их соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому при увеличении треугольника в несколько раз числитель и знаменатель каждого отношения увеличиваются одинаково, а значение отношения сохраняется.

Связь тангенса с синусом и косинусом можно получить прямо из определений. Обозначим противолежащий катет через a, прилежащий через b, а гипотенузу через c. Тогда tg α = a/b, sin α = a/c и cos α = b/c. Деление синуса на косинус даёт (a/c)/(b/c) = a/b, значит, tg α = sin α / cos α.

Все три отношения описывают стороны одного прямоугольного треугольника относительно выбранного угла. Для синуса и косинуса в знаменателе стоит гипотенуза, а в числителе — соответственно противолежащий или прилежащий катет. Тангенс сопоставляет два катета: противолежащий делят на прилежащий. Так формулы помогают выбрать нужные стороны, даже если сами длины пока неизвестны.

Если стороны известны, вычисление сводится к подстановке их длин в определение. Например, чтобы найти синус, нужно найти катет напротив угла и разделить его длину на длину гипотенузы. Для косинуса берут прилежащий катет, а для тангенса — оба катета в указанном порядке. Если нужная сторона не дана, сначала её можно найти, например, по теореме Пифагора.

Тригонометрические отношения острого угла

Сначала выбери угол и подпиши относительно него оба катета, затем найди в таблице нужное отношение. Для синуса и косинуса проверь, что делишь на гипотенузу, а для тангенса — что делишь один катет на другой в правильном порядке. Последняя строка позволяет вычислить тангенс по известным синусу и косинусу.

Разбор задач

Задача 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а катет, противолежащий углу α, равен 6. Нужно найти sin α. В формуле синуса участвуют именно эти две стороны, поэтому остальные длины искать не требуется.

1. По определению sin α = противолежащий катет / гипотенуза.
2. Подставляем данные: sin α = 6/10.
3. Сокращаем дробь на 2 и получаем sin α = 3/5.

Ответ: sin α = 3/5. Проверка: противолежащий катет короче гипотенузы, поэтому полученное отношение меньше 1, как и должно быть.

Задача 2

Катет, прилежащий к углу β, равен 5, гипотенуза — 13. Требуется найти cos β и длину второго катета. Для косинуса обе нужные стороны уже известны, а неизвестную сторону можно найти по теореме Пифагора.

1. Записываем определение: cos β = прилежащий катет / гипотенуза.
2. Подставляем данные: cos β = 5/13.
3. Обозначим второй катет через x. По теореме Пифагора x² + 5² = 13², поэтому x² = 169 − 25 = 144.
4. Так как длина положительна, x = 12.

Ответ: cos β = 5/13, длина второго катета равна 12. Проверка по теореме Пифагора: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², значит, вычисление верно.

Задача 3

Для острого угла γ известно, что sin γ = 3/5 и cos γ = 4/5. Нужно найти tg γ и объяснить результат через стороны прямоугольного треугольника. Здесь удобно использовать связь тангенса с синусом и косинусом, а затем проверить смысл ответа.

1. Записываем формулу: tg γ = sin γ / cos γ.
2. Подставляем значения: tg γ = (3/5) / (4/5).
3. Деление на дробь заменяем умножением на обратную: tg γ = (3/5) · (5/4) = 3/4.
4. Синус 3/5 означает, что противолежащий катет относится к гипотенузе как 3 к 5, а косинус 4/5 — что прилежащий относится к ней как 4 к 5.

Значит, катеты относятся как 3 к 4, и их отношение равно 3/4. Ответ: tg γ = 3/4.

Типичные ошибки

Прилежащий и противолежащий катеты иногда выбирают по их длине: например, считают прилежащим более короткий. Это неверно, потому что названия зависят от выбранного угла, а не от размера стороны. Чтобы проверить себя, отметь угол и найди катет, который находится прямо напротив него; второй катет будет прилежащим.

В определении синуса или косинуса в знаменатель могут ошибочно поставить катет. Так происходит, когда забывают, что именно гипотенуза общая для формул синуса и косинуса. Перед вычислением найди сторону напротив прямого угла и проверь, что делишь катет на неё, а не один катет на другой.

Тангенс иногда принимают за отношение катета к гипотенузе, потому что путают его с синусом или косинусом. Но тангенс сравнивает два катета: противолежащий делят на прилежащий. Проверь формулу: если в ней появляется гипотенуза, это не определение тангенса.

Можно сравнивать отношения в треугольниках разного вида, не проверяя, одинаков ли рассматриваемый угол. Тогда стороны могут соответствовать иначе, и вывод будет неверным. Сначала убедись, что треугольники прямоугольные и в них выбран один и тот же острый угол; такие треугольники подобны, а отношения соответствующих сторон совпадают.

Связь с другими темами

Для работы с синусом, косинусом и тангенсом нужно знать, какие стороны прямоугольного треугольника называются катетами и гипотенузой. Теорема Пифагора помогает найти неизвестную сторону, когда известны две другие. Признаки подобия объясняют, почему отношения сторон для одного и того же острого угла не зависят от размера треугольника.

Тригонометрические отношения пригодятся, когда нужно найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника по известному углу и стороне. Они также помогают решать геометрические задачи, в которых нужно связать длины сторон с углами. Выбор нужной формулы зависит от того, какие стороны известны и какие требуется найти.

Что запомнить

• Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
• Катеты называют прилежащим и противолежащим только относительно выбранного угла.
• Значения отношений для данного угла одинаковы во всех подобных прямоугольных треугольниках.
• Для острого угла tg α = sin α / cos α.