"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Теорема косинусов связывает длины сторон треугольника с косинусом угла между двумя из них. С её помощью можно найти неизвестную сторону, если известны две другие стороны и угол между ними, или вычислить косинус угла по трём сторонам. Формула работает для любого треугольника: при прямом угле она превращается в теорему Пифагора, а при тупом учитывает отрицательное значение косинуса.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема косинусов — правило, связывающее квадрат стороны треугольника с квадратами двух других сторон и косинусом угла между ними. Например, квадрат стороны a равен сумме квадратов сторон b и c минус удвоенное произведение b и c на косинус угла между ними. Это правило нужно, когда для вычисления стороны теоремы Пифагора уже недостаточно: угол может быть не прямым.
В треугольнике ABC принято обозначать стороны строчными буквами напротив одноимённых заглавных углов: a = BC лежит напротив A, b = AC — напротив B, c = AB — напротив C. Так легче определить, какая сторона соответствует углу в формуле. Например, если ищем a, то используем угол A, а не B или C.
Косинус угла — число, которое зависит от величины угла и входит в формулу теоремы косинусов. Здесь нужен косинус угла между двумя известными сторонами, а не любого угла треугольника. Поэтому перед подстановкой полезно найти именно те две стороны, произведение которых стоит в формуле, и посмотреть, какой угол они образуют.
Для стороны a формула имеет вид a² = b² + c² − 2bc cos A. Стороны b и c сходятся в вершине A, поэтому угол между ними — именно A; углы B и C лежат напротив сторон b и c соответственно. Выбор угла важен: если подставить косинус другого угла, стороны и угол в формуле перестанут соответствовать друг другу, и вычисление даст неверный результат.
Формулу можно получить, проведя из вершины C высоту к прямой AB. Обозначим основание высоты буквой D, а длину высоты — h; для прямоугольного треугольника ACD имеем AD = b cos A и h = b sin A. Если считать отрезок AD направленным, равенство сохраняется и при тупом угле A: проекция тогда направлена в противоположную сторону. По теореме Пифагора для треугольника BCD получаем a² = (c − b cos A)² + (b sin A)²; после раскрытия скобок и использования sin² A + cos² A = 1 остаётся нужная формула.
Теорема подходит для любой стороны, если согласованно поменять буквы: для b записывают b² = a² + c² − 2ac cos B, а для c — c² = a² + b² − 2ab cos C. Это не новые правила, а та же формула, применённая к другой стороне треугольника. Угол B находится между сторонами a и c, а угол C — между сторонами a и b.
Если A = 90°, то cos A = 0, и слагаемое 2bc cos A становится нулём. Формула превращается в a² = b² + c² — это теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, где a является гипотенузой. Значит, теорема Пифагора выступает частным случаем теоремы косинусов.
При остром A косинус положителен, поэтому из суммы b² + c² вычитается положительное число и a² меньше этой суммы. При тупом A косинус отрицателен: например, −2bc cos A уже является положительным слагаемым, поэтому a² больше b² + c². Такой разбор знака помогает понять результат и проверить, не потерялся ли минус при вычислениях.
| Искомая сторона | Формула | Угол между известными сторонами |
|---|---|---|
| a | a² = b² + c² − 2bc cos A | A |
| b | b² = a² + c² − 2ac cos B | B |
| c | c² = a² + b² − 2ab cos C | C |
Сначала найдите строку с искомой стороной, затем проверьте, какие две стороны и какой угол в ней указаны. Угол должен находиться между известными сторонами, стоящими справа. Если нужно найти косинус угла, формулу можно преобразовать, оставив cos угла в одной части равенства.
В каждой задаче сначала определяем, какие стороны образуют известный угол, и только потом выбираем формулу. Затем подставляем значения, внимательно учитывая знак косинуса, и извлекаем квадратный корень, если ищем длину. Длины сторон записываем в сантиметрах, а полученный ответ проверяем на разумность.
Первая ошибка — подставить косинус не того угла. Это происходит, если выбирать его по рисунку, не проверяя, между какими сторонами он расположен. Перед вычислением сопоставьте произведение двух сторон в формуле с углом между ними: для b и c это A, для a и c — B, для a и b — C.
Иногда путают сторону и противолежащий ей угол: например, считают, что сторона a прилегает к углу A. Но a лежит напротив A, а сам угол A находится между сторонами b и c. Проверить себя можно по обозначениям вершин: сторона проходит через две вершины, а противолежащая ей вершина в её названии не встречается.
При тупом угле ученики могут забыть скобки вокруг отрицательного косинуса: −2bc · −½ ошибочно превращают в отрицательное слагаемое. Записывайте подстановку целиком, например −96 · (−½), и только потом выполняйте умножение. Два минуса дают плюс, поэтому квадрат искомой стороны в этом случае больше суммы квадратов известных сторон.
Ещё одна ошибка — считать, что теорема подходит только для остроугольного треугольника. Так думают, потому что в знакомом примере косинус часто положителен, но формула работает и при прямом, и при тупом угле. Для проверки вспомните: при 90° она даёт теорему Пифагора, а отрицательный косинус тупого угла корректно меняет знак слагаемого.
Перед изучением теоремы косинусов нужно знать теорему Пифагора и понимать, как обозначают стороны и углы треугольника. Также пригодятся значения косинуса основных углов, например cos 60° = ½ и cos 120° = −½. Новое правило расширяет применение теоремы Пифагора на случаи, когда угол не прямой.
С помощью теоремы находят неизвестную сторону по двум сторонам и углу между ними, а также косинус угла по трём сторонам. Это делает её полезной при решении разных задач на треугольники. Умение преобразовать формулу помогает перейти от вычисления длины к исследованию величины угла.
Как понять, какой угол нужно подставить в теорему косинусов?
Выберите сторону, которую ищете: в формуле для неё слева стоит её квадрат. Справа возьмите две остальные стороны и косинус угла между ними. Например, для стороны a это угол A.
Почему в формуле стоит минус перед произведением?
Минус появляется при выводе формулы из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, который образуется после проведения высоты. Этот знак также помогает формуле учитывать, острый угол или тупой.
Можно ли применять теорему косинусов к тупоугольному треугольнику?
Да, теорема верна для любого треугольника. У тупого угла косинус отрицательный, поэтому вычитание отрицательного числа увеличивает результат.
Как теорема косинусов связана с теоремой Пифагора?
Если угол между двумя известными сторонами прямой, его косинус равен нулю. Тогда слагаемое с косинусом исчезает, и формула становится теоремой Пифагора.
Как по трём сторонам найти косинус угла?
Выразите косинус из теоремы косинусов: cos A = (b² + c² − a²) / 2bc. Здесь a — сторона напротив угла A, а b и c — две другие стороны.
98. Теорема косинусов
